已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率32,椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4,直线l过点P(1,0)与椭圆C交于不同的两点A,B.(I)求

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率32,椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4,直线l过点P(1,0)与椭圆C交于不同的两点A,B.(I)求

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率


3
2
,椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4,直线l过点P(1,0)与椭圆C交于不同的两点A,B.
(I)求椭圆C的方程;
(II) 若


AP


PB
,试求实数λ的取值范围.
答案
(I)∵椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率


3
2

椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4,





c
a
=


3
2
2a=4
a2=b2+c2

解得a=2,c=


3
,b=1

∴椭圆C的方程为:
x2
4
+y2=1

(II)∵直线l过点P(1,0),
①当直线l的斜率k不存在时,直线l的方程是x=1,
此时


AP
=


PB
,λ=1;
②当直线l的斜率k存在时,设l的方程是y=k(x-1),





y=k(x-1)
x2
4
+y2=1
,得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,
△=64k4-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16>0,直线与圆恒有公共点,下对参数的取值范围进行讨论
当k=0时,A(2,0),B(-2,0),P(1,0),或B(2,0),A(-2,0),P(1,0),
当A(2,0),B(-2,0),P(1,0)时,


AP
=(-1,0)


PB
=(-3,0)

λmin=


AP


PB
=
1
3

当B(2,0),A(-2,0),P(1,0)时,


AP
=(3,0),


PB
=(1,0)

λmax=


AP


PB
=3.
∴实数λ的取值范围是[
1
3
,3].
故实数λ的取值范围是[
1
3
,3].
举一反三
椭圆的中心在坐标原点,离心率等于
1
2
,抛物线y2=-4x的准线l过它的一个焦点,则椭圆方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率e=


3
2
,且点P(-2,0)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知A、B为椭圆C上的动点,当PA⊥PB时,求证:直线AB恒过一个定点.并求出该定点的坐标.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的两个焦点分别是F1(-1,0)、F2(1,0),且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1,F2距离的等差中项.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设经过点F2的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点Q(x0,y0),求y0的取值范围.
题型:杨浦区一模难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)经过点M(1,
3
2
)
,其离心率为
1
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+m  (|k|≤
1
2
)
与椭圆C相交于A、B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆C上,O为坐标原点.求|OP|的取值范围.
题型:海淀区一模难度:| 查看答案
已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a,b>0)与双曲线G:x2-y2=4,若椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点,椭圆E的焦点恰为双曲线G的顶点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)是否存在一个以原点为圆心的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且


OA


OB
?若存在请求出该圆的方程,若不存在请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
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