已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的两个焦点分别是F1(-1,0)、F2(1,0),且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1,F2距离的等差中项.(1)求椭圆C的方程
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的两个焦点分别是F1(-1,0)、F2(1,0),且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1,F2距离的等差中项.(1)求椭圆C的方程
题型:杨浦区一模
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1的两个焦点分别是F
1
(-1,0)、F
2
(1,0),且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F
1
,F
2
距离的等差中项.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设经过点F
2
的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点Q(x
0
,y
0
),求y
0
的取值范围.
答案
(1)设椭圆C的半焦距是c.依题意,得c=1.…(1分)
由题意焦距是椭圆C上一点p到两焦点F
1
,F
2
距离的等差中项,得4c=2a,∴a=2
∴b
2
=a
2
-c
2
=3.…(4分)
故椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
.…(6分)
(2)当MN⊥x轴时,显然y
0
=0.…(7分)
当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y=k(x-1)(k≠0).
代入椭圆方程,消去y整理得(3+4k
2
)x
2
-8k
2
x+4(k
2
-3)=0.…(9分)
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),线段MN的中点为Q(x
3
,y
3
),则x
1
+x
2
=
8
k
2
3+4
k
2
.…(10分)
所以x
3
=
4
k
2
3+4
k
2
,y
3
=k(x
3
-1)=
-3k
3+4
k
2
,
∴线段MN的垂直平分线方程为y+
3k
3+4
k
2
=-
1
k
(x-
4
k
2
3+4
k
2
).
在上述方程中令x=0,得y
0
=
k
3+4
k
2
=
1
3
k
+4k
.…(12分)
当k<0时,
3
k
+4k
≤-4
3
;当k>0时,
3
k
+4k
≥4
3
.
所以
-
3
12
≤y
0
<0,或0<y
0
≤
3
12
.…(13分)
综上,y
0
的取值范围是[
-
3
12
,
3
12
].…(14分)
举一反三
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)经过点
M(1,
3
2
)
,其离心率为
1
2
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线
l:y=kx+m (|k|≤
1
2
)
与椭圆C相交于A、B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆C上,O为坐标原点.求|OP|的取值范围.
题型:海淀区一模
难度:
|
查看答案
已知椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a,b>0)与双曲线G:x
2
-y
2
=4,若椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点,椭圆E的焦点恰为双曲线G的顶点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)是否存在一个以原点为圆心的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且
OA
⊥
OB
?若存在请求出该圆的方程,若不存在请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆的中心在原点O,短半轴的端点到其右焦点F(2,0)的距离为
10
,过焦点F作直线l,交椭圆于A,B两点.
(Ⅰ)求这个椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若椭圆上有一点C,使四边形AOBC恰好为平行四边形,求直线l的斜率.
题型:通州区一模
难度:
|
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已知椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左焦点
F
1
(-
5
,0)
,若椭圆上存在一点D,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF
1
相切于线段DF
1
的中点F.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)已知两点Q(-2,0),M(0,1)及椭圆G:
9
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
,过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H,K两点,设线段HK的中点为N,连接MN,试问当k为何值时,直线MN过椭圆G的顶点?
(Ⅲ) 过坐标原点O的直线交椭圆W:
9
x
2
2
a
2
+
4
y
2
b
2
=1
于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC并延长交椭圆W于B,求证:PA⊥PB.
题型:不详
难度:
|
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若椭圆的两个焦点坐标为F
1
(-1,0),F
2
(5,0),长轴的长为10,则椭圆的方程为______.
题型:上海
难度:
|
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