(本小题满分14分) (Ⅰ)连接DF2,FO(O为坐标原点,F2为右焦点), 由题意知:椭圆的右焦点为F2(,0) 因为FO是△DF1F2的中位线,且DF1⊥FO, 所以|DF2|=2|FO|=2b, 所以|DF1|=2a-|DF2|=2a-2b, 故|FF1|=|DF1|=a-b.…(2分) 在Rt△FOF1中,|FO|2+|FF1|2=|F1O|2 即b2+(a-b)2=c2=5,又b2+5=a2,解得a2=9,b2=4, 所求椭圆E的方程为+=1.…(4分) (Ⅱ) 由(Ⅰ)得椭圆G:x2+=1 设直线l的方程为y=k(x+2)并代入x2+=1 整理得:(k2+4)x2+4k2x+4k2-4=0 由△>0得:-<k<,…(5分) 设H(x1,y1),K(x2,y2),N(x0,y0) 则由中点坐标公式得:…(6分) ①当k=0时,有N(0,0),直线MN显然过椭圆G的两个顶点(0,-2),(0,2).…(7分) ②当k≠0时,则x0≠0,直线MN的方程为y=x+1 此时直线MN显然不能过椭圆G的两个顶点(0,-2),(0,2); 若直线MN过椭圆G的顶点(1,0),则0=+1,即x0+y0=1, 所以+=1,解得:k=,k=2(舍去),…(8分) 若直线MN过椭圆G的顶点(-1,0),则0=-+1,即x0-y0=-1, 所以-=-1, 解得:k=-4+2,k=-4-2(舍去).…(9分) 综上,当k=0或k=或k=-4+2时,直线MN过椭圆G的顶点.…(10分) (Ⅲ)法一:由(Ⅰ)得椭圆W的方程为+y2=1,…(11分) 根据题意可设P(m,n),则A(-m,-n),C(m,0) 则直线AC的方程为y+n=(x+m),…① 过点P且与AP垂直的直线方程为y-n=-(x-m),…② ①×②并整理得:+y2=+n2, 又P在椭圆W上,所以+n2=1, 所以+y2=1, 即①、②两直线的交点B在椭圆W上,所以PA⊥PB.…(14分) 法二:由(Ⅰ)得椭圆W的方程为+y2=1 根据题意可设P(m,n),则A(-m,-n),C(m,0), ∴kPA=,kAC=, 所以直线AC:y=(x-m), 化简得(1+)x2-x+-2=0, 所以xA+xB=, 因为xA=-m,所以xB=,则yB=xB-=.…(12分) 所以kPB==-,则kPA•kPB=-1,故PA⊥PB.…(14分) |