若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为22，且OA⊥OB，求椭圆的方程．

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若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为22，且OA⊥OB，求椭圆的方程．

题型：不详难度：来源：
若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为


2
2
，且OA⊥OB，求椭圆的方程．
答案
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
）．
∴（a+b）x2-2bx+b-1=0．
由x+y=1，ax2+by2=1，
∴
x1+x2
2
=
b
a+b
，
y1+y2
2
=1-
x1+x2
2
=
a
a+b
．
∴M（
b
a+b
，
a
a+b
）．
∵kOM=


2
2
，∴b=


2
a．①
∵OA⊥OB，∴
y1
x1
•
y2
x2
=-1．
∴x1x2+y1y2=0．
∵x1x2=
b-1
a+b
，y1y2=（1-x1）（1-x2），
∴y1y2=1-（x1+x2）+x1x2
=1-
2b
a+b
+
b-1
a+b
=
a-1
a+b
．
∴
b-1
a+b
+
a-1
a+b
=0．
∴a+b=2．②
由①②得a=2（


2
-1），b=2


2
（


2
-1）．
∴所求方程为2（


2
-1）x2+2


2
（


2
-1）y2=1．
举一反三
已知F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且


PF1
•


PF2
的取值范围是[-
4
3
，
4
3
]．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足(


CP
|


CP
|
+


CQ
|


CQ
|
)•


F1F2
=0，求证：向量


PQ
与


AB
共线．
题型：上海模拟难度：| 查看答案
椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点B(


2
 ， 


2
)的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率k≠0的直线l：y=kx-2，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足|


AM 
| = |


AN 
|，若存在，求直线l的倾斜角α；若不存在，说明理由．
题型：不详难度：| 查看答案
设A，B分别为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点P为椭圆上不同于A，B的一个动点，直线PA，PB与椭圆右准线相交于M，N两点，在x轴上是否存在点Q，使得


QM
•


QN
=0，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
题型：孝感模拟难度：| 查看答案
已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
1
2
，且经过点M(1，
3
2
)，过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存直线l，满足


PA
•


PB
=


PM
2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
题型：朝阳区一模难度：| 查看答案
已知△ABC中，A、B的坐标分别为（0，2）和（0，-2），若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是（　　）
题型：湛江二模难度：| 查看答案
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