若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为22,且OA⊥OB,求椭圆的方程.

若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为22,且OA⊥OB,求椭圆的方程.

题型:不详难度:来源:
若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为


2
2
,且OA⊥OB,求椭圆的方程.
答案
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(
x1+x2
2
y1+y2
2
).
∴(a+b)x2-2bx+b-1=0.
由x+y=1,ax2+by2=1,
x1+x2
2
=
b
a+b
y1+y2
2
=1-
x1+x2
2
=
a
a+b

∴M(
b
a+b
a
a+b
).
∵kOM=


2
2
,∴b=


2
a.①
∵OA⊥OB,∴
y1
x1
y2
x2
=-1.
∴x1x2+y1y2=0.
∵x1x2=
b-1
a+b
,y1y2=(1-x1)(1-x2),
∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2
=1-
2b
a+b
+
b-1
a+b
=
a-1
a+b

b-1
a+b
+
a-1
a+b
=0.
∴a+b=2.②
由①②得a=2(


2
-1),b=2


2


2
-1).
∴所求方程为2(


2
-1)x2+2


2


2
-1)y2=1.
举一反三
已知F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的左、右焦点,P是此椭圆上的一动点,并且


PF1


PF2
的取值范围是[-
4
3
4
3
]

(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)点A是椭圆的右顶点,直线y=x与椭圆交于B、C两点(C在第一象限内),又P、Q是椭圆上两点,并且满足(


CP
|


CP
|
+


CQ
|


CQ
|
)•


F1F2
=0
,求证:向量


PQ


AB
共线.
题型:上海模拟难度:| 查看答案
椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为A(0,2),右焦点F与点B(


2
 , 


2
)
的距离为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率k≠0的直线l:y=kx-2,使直线l与椭圆相交于不同的两点M,N满足|


AM 
| = |


AN 
|
,若存在,求直线l的倾斜角α;若不存在,说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
设A,B分别为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的右准线.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P为椭圆上不同于A,B的一个动点,直线PA,PB与椭圆右准线相交于M,N两点,在x轴上是否存在点Q,使得


QM


QN
=0
,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.
题型:孝感模拟难度:| 查看答案
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
1
2
,且经过点M(1,
3
2
)
,过点P(2,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存直线l,满足


PA


PB
=


PM
2
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
题型:朝阳区一模难度:| 查看答案
已知△ABC中,A、B的坐标分别为(0,2)和(0,-2),若三角形的周长为10,则顶点C的轨迹方程是(  )
题型:湛江二模难度:| 查看答案
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