(1)依题意,设椭圆方程为+=1 ( a>b>0 ), 则其右焦点坐标为F(c , 0 ) ,c=,(1分) 由|FB|=2,得=2, 即(c-)2+2=4,解得c=2.(3分) 又∵b=2,∴a2=c2+b2=12,即椭圆方程为+=1.(4分)
(2)由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上, 由消去y得x2+3(kx-2)2=12 即(1+3k2)x2-12kx=0(6分) 由k≠0,得方程的△=(-12k)2=144k2>0,即方程有两个不相等的实数根. (7分) 设M(x1,y1)、N(x2,y2),线段MN的中点P(x0,y0), 则x1+x2=,∴x0==, ∴y0=kx0-2==,即P ( , ),(9分) ∵k≠0,∴直线AP的斜率为k1==,(10分) 由AP⊥MN,得×k=-1,(11分) ∴2+2+6k2=6,解得:k=±,即tanα=±,(12分) 又0≤α<π,故α=,或α=, ∴存在直线l满足题意,其倾斜角α=,或α=.(13分) |