已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B的坐标为（0，1），离心率等于22．斜率为1的直线l与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）问椭

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已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B的坐标为（0，1），离心率等于

．斜率为1的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）问椭圆C的右焦点F是否可以为△BMN的重心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．

答案

（1）设椭圆C的方程为

=1(a＞b＞0)，
则由题意知b=1．∴

a2-b2

．
即

．∴a²=2．
∴椭圆C的方程为

+y2=1；
（2）假设椭圆C的右焦点F可以为△BMN的重心，设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y得
3x²+4mx+2m²-2=0
由△=24-8m²＞0得m²＜3
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x1+x2=-

m
∵F（1，0），∴1=

x1+x2+xM

∴m=-

∴直线l方程为y=x-

举一反三

已知方程2（λ+4）x²+（λ²-3λ+2）y²=1表示椭圆，则λ的取值范围为______．

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已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x-y+b=0是抛物线y²=4x的一条切线．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点S(0，-

)的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

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设向量

=（x+1，y），

=（y，x-1），（x，y∈R）满足|

|+|

|=2

，已知定点A（1，0），动点P（x，y）
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过原点O作直线l交轨迹C于两点M，N，若，试求△MAN的面积．
（3）过原点O作直线l与直线x=2交于D点，过点A作OD的垂线与以OD为直径的圆交于点G，H（不妨设点G在直线OD上方），试判断线段OG的长度是否为定值？并说明理由．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点距离之和为4，直线x+4=0为该椭圆的一条准线．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同的两点A、B，且

•

＞0（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

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已知离心率为

的椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为E，直线EF截圆x²+y²=1所得弦长为

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过D（-2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，

．试探究

|MD|

|MA|

的取值范围．

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