如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，），且P（，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A

题型：不详难度：来源：

如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，），且P（，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，设点Q的横坐标为n，求平行四边形OPCQ周长（周长用n的代数式表示），并写出其最小值．

答案

（1），（2）和（3），

解析

解：（1）正比例函数解析式为 ---------------1分
反比例函数解析式为  ---------------2分  
（2）当点Q在直线DO上运动时，
设点Q的坐标为， ----------------------3分
于是=
而×1×2=1
所以有，，解得  --------------------6分
所以点Q的坐标为和 -------------------7分
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以点Q的坐标为，
由勾股定理可得，-------------------8分
由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长是
．····················· 10分
平行四边形OPCQ周长的最小值是．-------11分
备注：

而点P（，）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
所以当即时，有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，所以OQ有最小值2．
（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；
（2）求得三角形OBQ和三角形OAP的面积进行解答
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，由勾股定理可得OQ,OP的长，而点P（，）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，所以当即时，有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，所以OQ有最小值2．