已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F（2，0）的距离为10，过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C

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已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F（2，0）的距离为10，过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C

题型：通州区一模难度：来源：
已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F（2，0）的距离为


10
，过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线l的斜率．
答案
（Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，
则a=


10
，c=2．
所以b=


a2-c2
=


10-4
=


6
，
所以椭圆方程为
x2
10
+
y2
6
=1．
（Ⅱ）若直线l⊥x轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线l对称，此时点C坐标为（2c，0）．
因为2c＞a，所以点C在椭圆外，所以直线l与x轴不垂直．                  
于是，设直线l的方程为y=k（x-2），点A（x1，y1），B（x2，y2），
则





x2
10
+
y2
6
=1
y=k(x-2)
，整理得，（3+5k2）x2-20k2x+20k2-30=0，
x1+x2=
20k2
3+5k2
，所以y1+y2=-
12k
3+5k2
．
因为四边形AOBC为平行四边形，所以


OA
+


OB
=


OC
，
所以点C的坐标为(
20k2
3+5k2
，-
12k
3+5k2
)，
所以
(
20k2
3+5k2
)2
10
+
(-
12k
3+5k2
)2
6
=1，解得k2=1，
所以k=±1．
举一反三
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点F1(-


5
，0)，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G：
9x2
a2
+
y2
b2
=1，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？
（Ⅲ） 过坐标原点O的直线交椭圆W：
9x2
2a2
+
4y2
b2
=1于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．
题型：不详难度：| 查看答案
若椭圆的两个焦点坐标为F1（-1，0），F2（5，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为______．
题型：上海难度：| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=


6
3
，l0为过点A（-2，0）和上顶点B2的直线，下顶点B1与l0的距离为
4


5
5
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的动弦CD交l0于M，若M为线段CD的中点，线段CD的中垂线和x轴交点为N（n，0），试求n的范围．
题型：不详难度：| 查看答案
若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为


2
2
，且OA⊥OB，求椭圆的方程．
题型：不详难度：| 查看答案
已知F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且


PF1
•


PF2
的取值范围是[-
4
3
，
4
3
]．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足(


CP
|


CP
|
+


CQ
|


CQ
|
)•


F1F2
=0，求证：向量


PQ
与


AB
共线．
题型：上海模拟难度：| 查看答案
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