已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l交椭圆于A、B两点.(1)求椭圆的方程;(2)已知e=(t,0)

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l交椭圆于A、B两点.(1)求椭圆的方程;(2)已知e=(t,0)

题型:杭州二模难度:来源:
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l交椭圆于A、B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知e=(t,0),p=λ(


MA
|


MA
|
+


MB
|


MB
|
)
,是否对任意的正实数t,λ,都有


e


p
=0
成立?请证明你的结论.
答案
(1)设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)






a=2b
4
a2
+
1
b2
=1
,解得





a2=8
b2=2

∴椭圆方程
x2
8
+
y2
2
=1

(2)若


e


p
=0
成立,则向量


p
=λ(


MA
|


MA
|
+


MB
|


MB
|
)
与x轴垂直,
由菱形的几何性质知,∠AMB的平分线应与x轴垂直.为此只需考察直线MA,MB的倾斜角是否互补即可.
由已知,设直线l的方程为:y=
1
2
x+m






y=
1
2
x+m
x2
8
+
y2
2
=1
,∴x2+2mx+2m2-4=0
设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2
只需证明k1+k2=0即可,
A(x1y1),B(x2y2),则k1=
y1-1
x1-2
k2=
y2-1
x2-2

由x2+2mx+2m2-4=0可得,
x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,而
k1+k2=
y1-1
x1-2
+
y2-1
x2-2
=
(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)
(x1-2)(x2-2)


=
(
1
2
x1+m-1)(x2-2)+(
1
2
x2+m-1)(x1-2)
(x1-2)(x2-2)

=
x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)
(x1-2)(x2-2)

=
2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)
(x1-2)(x2-2)

=
2m2-4-2m2+4m-4m+4
(x1-2)(x2-2)
=0

∴k1+k2=0,
直线MA,MB的倾斜角互补.
故对任意的正实数t,λ,都有


e


p
=0
成立.
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率


3
2
,椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4,直线l过点P(1,0)与椭圆C交于不同的两点A,B.
(I)求椭圆C的方程;
(II) 若


AP


PB
,试求实数λ的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆的中心在坐标原点,离心率等于
1
2
,抛物线y2=-4x的准线l过它的一个焦点,则椭圆方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率e=


3
2
,且点P(-2,0)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知A、B为椭圆C上的动点,当PA⊥PB时,求证:直线AB恒过一个定点.并求出该定点的坐标.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的两个焦点分别是F1(-1,0)、F2(1,0),且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1,F2距离的等差中项.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设经过点F2的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点Q(x0,y0),求y0的取值范围.
题型:杨浦区一模难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)经过点M(1,
3
2
)
,其离心率为
1
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+m  (|k|≤
1
2
)
与椭圆C相交于A、B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆C上,O为坐标原点.求|OP|的取值范围.
题型:海淀区一模难度:| 查看答案
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