已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知过点F1(-2,0)倾斜角为θ的直
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知过点F1(-2,0)倾斜角为θ的直
题型:安徽
难度:
来源:
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知过点F
1
(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C于A,B两点.
求证:
|AB|=
4
2
2-
cos
2
θ
;
(Ⅲ)过点F
1
(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E,求|AB|+|DE|的最小值.
答案
(Ⅰ)由题意:
c=2
a
2
c
=4
c
2
=
a
2
-
b
2
,解得a
2
=8,b
2
=4.
所求的求椭圆C的方程
x
2
8
+
y
2
4
=1
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,F
1
(-2,0)是椭圆的右焦点,
e=
2
2
.设l为椭圆的左准线,则l:x=-4.作AA
1
⊥l于A
1
点,BB
1
⊥l于B
1
点,l与x轴的交点为H.
∵点A在椭圆上,∴
|A
F
1
|=
2
2
|A
A
1
|=
2
2
(|H
F
1
|+|
F
1
A|cosθ)=
2
+
2
2
|
F
1
A|cosθ
.
∴
|A
F
1
|=
2
2
-cosθ
,同理
|B
F
1
|=
2
2
+cosθ
.(其中θ为直线AB的倾斜角).
∴
|AB|=|A
F
1
|+|B
F
1
|=
2
2
-cosθ
+
2
2
+cosθ
=
4
2
2-
cos
2
θ
.
(Ⅲ)设直线AB的倾斜角为θ,由于DE⊥AB,由(Ⅱ)知:
|AB|=
4
2
2-
cos
2
θ
,
|DE|=
4
2
2-
sin
2
θ
,
|AB|+|DE|=
4
2
2-
cos
2
θ
+
4
2
2-
sin
2
θ
=
12
2
2+
1
2
sin
2
2θ
.
当
θ=
π
4
或
θ=
3π
4
时,|AB|+|DE|取得最小值
16
2
3
.
举一反三
已知椭圆
C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
的左、右两个焦点为F
1
、F
2
,离心率为
1
2
,又抛物线C
2
:y
2
=4mx(m>0)与椭圆C
1
有公共焦点F
2
(1,0).
(1)求椭圆和抛物线的方程;
(2)设直线l经过椭圆的左焦点F
1
且与抛物线交于不同两点P、Q,且满足
F
1
P
=λ
F
1
Q
,求实数λ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l交椭圆于A、B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知
e=(t,0),p=λ(
MA
|
MA
|
+
MB
|
MB
|
)
,是否对任意的正实数t,λ,都有
e
•
p
=0
成立?请证明你的结论.
题型:杭州二模
难度:
|
查看答案
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率
3
2
,椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4,直线l过点P(1,0)与椭圆C交于不同的两点A,B.
(I)求椭圆C的方程;
(II) 若
AP
=λ
PB
,试求实数λ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆的中心在坐标原点,离心率等于
1
2
,抛物线y
2
=-4x的准线l过它的一个焦点,则椭圆方程为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率
e=
3
2
,且点P(-2,0)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知A、B为椭圆C上的动点,当PA⊥PB时,求证:直线AB恒过一个定点.并求出该定点的坐标.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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