已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,且经过点P(1,32).(Ⅰ)求椭圆G的方程;(Ⅱ)设直线l:y=12x+m与椭圆G交于A、B
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已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,且经过点P(1,32).(Ⅰ)求椭圆G的方程;(Ⅱ)设直线l:y=12x+m与椭圆G交于A、B
题型:顺义区一模
难度:
来源:
已知椭圆G:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率
e=
1
2
,且经过点
P(1,
3
2
)
.
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)设直线
l:y=
1
2
x+m
与椭圆G交于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点T,当m变化时,求△TAB面积的最大值.
答案
(Ⅰ)由已知
e=
1-
b
2
a
2
=
1
2
1
a
2
+
9
4
b
2
=1
,解得
a
2
=4
b
2
=3
----(2分)
∴椭圆G的方程为:
x
2
4
+
y
2
3
=1
.----(4分)
(Ⅱ)
x
2
4
+
y
2
3
=1
y=
1
2
x+m
消去y得:x
2
+mx+m
2
-3=0,----(5分)
∵椭圆与直线有两个不同的交点,∴△>0,即m
2
<4,----(6分)
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),AB的中点M(x
0
,y
0
)
∴x
1
+x
2
=-m,
x
1
x
2
=
m
2
-3
,
∴
|AB|=
1+
k
2
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=
5
2
12-3
m
2
,
x
0
=
x
1
+
x
2
2
=-
m
2
,
y
0
=
1
2
x
0
+m=
3
4
m
,∴
M(-
m
2
,
3
4
m)
----(8分)
设T(t,0),∵MT⊥AB,∴K
AT
K
AB
=-1,解得
t=-
m
8
,----(10分)
∴
T(-
m
8
,0)
,
MT=
3
5
8
|m|
,
∴
S
△TAB
=
1
2
|AB|•|MT|=
15
32
-3
(
m
2
-2)
2
+12
,
∵0<m
2
<4----(12分)
∴当m
2
=2即
m=±
2
时,△TAB面积最大为
15
3
16
----(14分)
举一反三
在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=
2
2
,一曲线E过C点,动点P在曲线E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变.
(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;
(2)直线l:y=x+t与曲线E交于M,N两点,求四边形MANB的面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知圆C:(x+2)
2
+y
2
=24,定点A(2,0),M为圆C上一动点,点P在AM上,点N在CM上(C为圆心),且满足
.
AM
= 2
.
AP
,
.
NP
-
.
AM
=0
,设点N的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点B(m,0)作倾斜角为
5
6
π
的直线l交曲线E于C、D两点.若点Q(1,0)恰在以线段CD为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知曲线C的方程为kx
2
+(4-k)y
2
=k+1(k∈R).
(1)若曲线C是椭圆,求k的取值范围;
(2)若曲线C是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程;
(3)满足(2)的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l:y=x-1对称,若存在,求出过P、Q的直线方程;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆过M(1,
4
2
3
),N(-
3
2
2
,
2
)两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆上是否存在点P(x,y)到定点A(a,0)(其中0<a<3)的距离的最小值为1,若存在,求出a的值及点P的坐标;若不存在,请给予证明.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知过点F
1
(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C于A,B两点.
求证:
|AB|=
4
2
2-
cos
2
θ
;
(Ⅲ)过点F
1
(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E,求|AB|+|DE|的最小值.
题型:安徽
难度:
|
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