已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的离心率是32.(1)证明:a=2b;(2)设点P为椭圆上的动点,点A(0,32),若|AP|的最大值是7,求椭
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已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的离心率是32.(1)证明:a=2b;(2)设点P为椭圆上的动点,点A(0,32),若|AP|的最大值是7,求椭
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的离心率是
3
2
.
(1)证明:a=2b;
(2)设点P为椭圆上的动点,点
A(0,
3
2
)
,若
|
AP
|
的最大值是
7
,求椭圆的方程.
答案
(1)证明:设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的半焦距为c.
因为椭圆的离心率是
3
2
,所以
c
2
a
2
=
a
2
-
b
2
a
2
=1-
b
2
a
2
=
3
4
,即a=2b.
(2)设点P(x,y).
则
|
AP
|
2
=
x
2
+(y-
3
2
)
2
=
a
2
(1-
y
2
b
2
)+
y
2
-3y+
9
4
=
4
b
2
-3
y
2
-3y+
9
4
=-3(y+
1
2
)
2
+4
b
2
+3
,其中-b≤y≤b.
①若
b<
1
2
2,则当y=-b3时,
|
AP
|
4取得最大值.
由题设,
(
7
)
2
=(b+
3
2
)
2
,
b=
7
-
3
2
>
1
2
,这与
b<
1
2
矛盾.
②若
b≥
1
2
,则当
y=-
1
2
时,
|
AP
|
取得最大值.
由题设,
(
7
)
2
=4
b
2
+3
,解得b=1,从而a=2.
故椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
=1
.
举一反三
求与
x
2
5
+
y
2
4
=1
有相同的离心率且过点
(
5
,2)
的椭圆方程______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)过点(1,
3
2
),且长轴长等于4.
(I)求椭圆C的方程;
(II)F
1
,F
2
是椭圆C的两个焦点,⊙O是以F
1
,F
2
为直径的圆,直线l:y=kx+m与⊙O相切,并与椭圆C交于不同的两点A,B,若
OA
•
OB
=-
3
2
,求k的值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
3
3
,右焦点F也是抛物线y
2
=4x的焦点.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线l与C相交于A、B两点,若
AF
=2
FB
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若点(3,2)是椭圆
(a>b>0)上的一点,则下列说法错误的是( )
A.点(-3,2)在该椭圆上
B.点(3,-2)在该椭圆上
C.点(-3,-2)在该椭圆上
D.点(-3,-2)不在该椭圆上
题型:不详
难度:
|
查看答案
设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆的方程.
(2)若P是该椭圆上的一个动点,F
1
、F
2
分别是椭圆的左、右焦点,求
P
F
1
•
P
F
2
的最大值和最小值.
题型:不详
难度:
|
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