椭圆C的中心坐标为原点O,焦点在y轴上,焦点到相应准线的距离以及离心率均为22,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A且AP=λPB.(1)求椭
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椭圆C的中心坐标为原点O,焦点在y轴上,焦点到相应准线的距离以及离心率均为22,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A且AP=λPB.(1)求椭
题型:宣武区二模
难度:
来源:
椭圆C的中心坐标为原点O,焦点在y轴上,焦点到相应准线的距离以及离心率均为
2
2
,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A
且
AP
=λ
PB
.
(1)求椭圆方程;
(2)若
OA
+λ
OB
=4
OP
,求m
的取值范围。.
答案
(1)设椭圆C的方程:
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1(a>b>0)
,则c
2
=a
2
-b
2
,
由条件知
a
2
c
-c=
b
2
c
=
2
2
,
c
a
=
2
2
,所以a=1,b=c=
2
2
,
故椭圆C的方程为y
2
+2x
2
=1.(4分)
(2)由
AP
=λ
PB
,得
OP
-
OA
=λ(
OB
-
OP
)
,
∴
OA
+λ
OB
=(1+λ)
OP
.
∵
OA
+λ
OB
=4
OP
,
∴λ+1=4,λ=3.
设l与椭圆C交点为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
y=kx+m
2
x
2
+
y
2
=1
得(k
2
+2)x
2
+2kmx+(m
2
-1)=0,
因此△=(2km)
2
-4(k
2
+2)(m
2
-1)
=4(k
2
-2m
2
+2)>0,①
则x
1
+x
2
=
-2km
k
2
+2
,x
1
x
2
=
m
2
-1
k
2
+1
.
∵
AP
=3
PB
,∴-x
1
=3x
2
,得
x
1
+
x
2
=-2
x
2
z
1
z
2
=-3
x
22
得3(x
1
+x
2
)
2
+4x
1
x
2
=0,
∴
3(
-2km
k
2
+2
)
2
+4
m
2
-1
k
2
+2
=0
,
整理得:4k
2
m
2
+2m
2
-k
2
-2=0.
当
m
2
=
1
4
时,上式不成立.
∴
m
2
≠
1
4
,
k
2
=
2-2
m
2
4
m
2
-1
.
由①式得k
2
>2m
2
-2,
∵λ=3,∴k≠0,
k
2
=
2-2
m
2
4
m
2
-1
>0
,
所以
-1<m<-
1
2
或
1
2
<m<1
.
即所求m的取值范围为
(-1,-
1
2
)∪(
1
2
,1)
(14分)
举一反三
已知椭圆C的中心在原点,长轴在x轴上,经过点A(0,1),离心率
e=
2
2
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l
n
:
y=
1
n+1
(n∈N*)与椭圆C在第一象限内相交于点A
n
(x
n
,y
n
),记
a
n
=
1
2
x
2n
,试证明:对∀n∈N*,
a
1
•
a
2
•…•
a
n
>
1
2
.
题型:江门一模
难度:
|
查看答案
(理)设斜率为k
1
的直线L交椭圆C:
x
2
2
+
y
2
=1
于A、B两点,点M为弦AB的中点,直线OM的斜率为k
2
(其中O为坐标原点,假设k
1
、k
2
都存在).
(1)求k
1
⋅k
2
的值.
(2)把上述椭圆C一般化为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),其它条件不变,试猜想k
1
与k
2
关系(不需要证明).请你给出在双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)中相类似的结论,并证明你的结论.
(3)分析(2)中的探究结果,并作出进一步概括,使上述结果都是你所概括命题的特例.
如果概括后的命题中的直线L过原点,P为概括后命题中曲线上一动点,借助直线L及动点P,请你提出一个有意义的数学问题,并予以解决.
题型:杨浦区二模
难度:
|
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已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为5,从这个圆上任一点p向x轴作垂线PP’,垂足为P’,M为线段PP’上一点,且满足:
MP
=4
PM
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)若过电(3,0)且斜率为1的直线交曲线C于A、B两点,求弦AB的长.
题型:不详
难度:
|
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中心在原点,焦点在y轴上焦距为8,且经过点(3,0)的椭圆方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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若圆x
2
+y
2
=9上的所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的4倍,则所得曲线的方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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