已知椭圆的中心在原点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为λ(λ>4).(I)求椭圆的方程;(II)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对
题型:湖南难度:来源:
已知椭圆的中心在原点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为λ(λ>4). (I)求椭圆的方程; (II)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上,求λ的取值范围. |
答案
(I)设椭圆的方程为+=1(a>b>0). 由条件知c=2,且=λ,所以a2=λ,b2=a2-c2=λ-4. 故椭圆的方程是+=1(λ>4). (II)依题意,直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是y=k(x-1). 设点F(2,0)关于直线l的对称点为F"(x0,y0), 则 解得 因为点F"(x0,y0)在椭圆上,所以+=1. 即λ(λ-4)k4+2λ(λ-6)k2+(λ-4)2=0. 设k2=t,则λ(λ-4)t2+2λ(λ-6)t+(λ-4)2=0. 因为λ>4,所以>0. 当且仅当 | △=[2λ(λ-6)]2-4λ(λ-4)3 | ->0. |
| | (*) 上述方程存在正实根,即直线l存在. 解(*)得所以4<λ≤. 即λ的取值范围是4<λ≤. |
举一反三
求以抛物线y2=8x的焦点为焦点,且离心率为 d的椭圆的标准方程为( )A.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023103414-99246.jpg) | B.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023103414-31347.jpg) | C.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023103414-75862.jpg) | D.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023103414-36896.jpg) | 已知椭圆C的焦点与双曲线x2-=1的焦点相同,且离心率为,则椭圆C的标准方程为______. | 已知A(4,),B(x1,y1),C(x2,y2)三点在椭圆+=1上,△ABC的重心与此椭圆的右焦点F(3,0)重合 (1)求椭圆方程 (2)求BC的方程. | 已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程为( )A. (x≠0) | B. (x≠0) | C. (y≠0) | D. (y≠0) | 长轴长为10,焦点坐标为(0,-3)(0,3)的椭圆方程为( ) |
|
|