已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,过顶点A(0,1)的直线L与椭圆C相交于两点A,B.(1)求椭圆C的方程;(2)若点M在椭圆上且
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,过顶点A(0,1)的直线L与椭圆C相交于两点A,B.(1)求椭圆C的方程;(2)若点M在椭圆上且
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,过顶点A(0,1)的直线L与椭圆C相交于两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点M在椭圆上且满足
OM
=
1
2
OA
+
3
2
OB
,求直线L的斜率k的值.
答案
(1)由e=
c
a
=
3
2
,b=1,a
2
=1+c
2
,解得a=2,
故椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
=1
.
(2)设l的方程为y=kx+1,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),M(m,n).
联立
y=kx+1
x
2
4
+
y
2
=1
,消去y解得 (1+4k
2
)x
2
+8kx=0,
因为直线l与椭圆C相交于两点,所以△=(8k)
2
>0,
所以x
1
+x
2
=
-
8k
1+4
k
2
,x
1
×x
2
=0,
∵
OM
=
1
2
OA
+
3
2
OB
,∴
m=
1
2
(
x
1
+
3
x
2
)
n=
1
2
(
y
1
+
3
y
2
)
点M在椭圆上,则m
2
+4n
2
=4,
∴
1
4
(
x
1
+
3
x
2
)
2
+(
y
1
+
3
y
2
)
2
=4
,化简得
x
1
x
2
+4y
1
y
2
=x
1
x
2
+4(kx
1
+1)(kx
2
+1)=(1+4k
2
)x
1
x
2
+4k(x
1
+x
2
)+4=0,
∴4k•(
-
8k
1+4
k
2
)+4=0,解得k=±
1
2
.
故直线l的斜率k=±
1
2
.
举一反三
已知抛物线的顶点为椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的中心.椭圆的离心率是抛物线离心率的一半,且它们的准线互相平行.又抛物线与椭圆交于点
M(
2
3
,-
2
6
3
)
,求抛物线与椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上且过点
P(
3
,
1
2
)
,离心率是
3
2
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l过点E(-1,0)且与椭圆C交于A,B两点,若|EA|=2|EB|,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆M::
x
2
a
2
+
y
2
3
=1(a>0)的一个焦点为F(-1,0),左右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;
(Ⅲ)记△ABD与△ABC的面积分别为S
1
和S
2
,求|S
1
-S
2
|的最大值.
题型:烟台二模
难度:
|
查看答案
已知椭圆M的中心为坐标原点,且焦点在x轴上,若M的一个顶点恰好是抛物线y
2
=8x的焦点,M的离心率
e=
1
2
,过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l,交M于A,B两点.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设点N(t,0)是一个动点,且
(
NA
+
NB
)⊥
AB
,求实数t的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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若方程
x
2
7-k
+
y
2
k-1
=1
表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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