解:(1)设椭圆的方程为, ∵椭圆的离心率为, ∴a2=4b2, 又∵M(4,1), ∴, 解得b2=5,a2=20, 故椭圆方程为 (2)将y=x+m代入 并整理得5x2+8mx+4m2﹣20=0, ∵直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B ∴△=(8m)2﹣20(4m2﹣20)>0, 解得﹣5<m<5 (3)设直线MA,MB的斜率分别为k1和k2,只要证明k1+k2=0. 设A(,),B(x2,y2), 根据(2)中的方程,利用根与系数的关系得:.
上式的分子=(+m﹣1)(x2﹣4)+(x2+m﹣1)(﹣4) =2x2+(m﹣5)(+x2)﹣8(m﹣1) = 所以k1+k2=0,得直线MA,MB的倾斜角互补 ∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形 |