已知直线l1,l2分别与双曲线C:的两条渐近线平行,又与x轴分别交M,N于两点,且满足|OM|2+|ON|2=8。 (1)求直线l1与l2的交点H的轨迹的方程;
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已知直线l1,l2分别与双曲线C:的两条渐近线平行,又与x轴分别交M,N于两点,且满足|OM|2+|ON|2=8。 (1)求直线l1与l2的交点H的轨迹的方程;
题型:江西省月考题
难度:
来源:
已知直线l
1
,l
2
分别与双曲线C:
的两条渐近线平行,又与x轴分别交M,N于两点,且满足|OM|
2
+|ON|
2
=8。
(1)求直线l
1
与l
2
的交点H的轨迹的方程;
(2)过点S(0,3)作斜率为k的直线l,并且l与轨迹E交于不同两点P,Q,点R与点P关于y轴对称,证明直线RQ经过一定点。
答案
解:(1)
;
(2)设QR与y轴交于D(0,y
0
),由已知可得直线PD与QR关于y轴对称,
∴k
PD
+k
QD
=0, 联立y=kx+3与
,△>0下设P(x
1
,y
1
),Q(x
1
,y
1
),
则R(-x
1
,y
1
),
由韦达定理,结合k
PD
+k
QD
=0 可求得y
0
=
,
即直线QR恒过定点(0,
)。
举一反三
已知椭圆C:
的短轴长等于焦距,椭圆C上的点到右焦点F的最短距离为
。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点E(2,0)且斜率为k(k>0)的直线l与C交于M、N两点,P是点M关于x轴的对称点,证明:N、F、P三点共线。
题型:河北省模拟题
难度:
|
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以F
1
(0 ,-1),F
2
(0 ,1)为焦点的椭圆C过点P(
,1)。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点S(
,0)的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由。
题型:浙江省模拟题
难度:
|
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设椭圆C
1
、抛物线C
2
的焦点均在x轴上,C
1
的中心和C
2
的顶点均为原点,从每条曲线上至少取两个点,将其坐标记录于下表中:
(1)求C
1
,C
2
的标准方程;
(2)设直线l与椭圆C
1
交于不同两点M,N,且
,请问是否存在这样的直线l过抛物线C
2
的焦点F?若存在,求出直线L的方程;若不存在,说明理由.
题型:模拟题
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率为
,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上。
题型:安徽省模拟题
难度:
|
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已知椭圆C :
的离心率为
,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,A,B分别是椭圆的左右两个顶点,P为椭圆C上的动点,
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若P与A,B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为k
1
,k
2
,证明:k
1
·k
2
为定值;
(Ⅲ)M为过P且垂直于x轴的直线上的点,若
,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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