如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,(1)求椭圆C的方程;(
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如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,(1)求椭圆C的方程;(
题型:安徽省模拟题
难度:
来源:
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率为
,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上。
答案
解:(1)由题意知
,
因为离心率e=
,
所以a=
,
所以椭圆C的方程为
。
(2)证明:由题意可设M,N的坐标分别为(x
0
,y
0
),(-x
0
,y
0
),
则直线PM的方程为
,①
直线QN的方程为
,②
联立①②解得
,
由
,
因为
,
所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上。
举一反三
已知椭圆C :
的离心率为
,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,A,B分别是椭圆的左右两个顶点,P为椭圆C上的动点,
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若P与A,B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为k
1
,k
2
,证明:k
1
·k
2
为定值;
(Ⅲ)M为过P且垂直于x轴的直线上的点,若
,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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已知椭圆C :
的离心率为
,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,A,B分别是椭圆的左右两个顶点,P为椭圆C上的动点,
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若P与A,B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为k
1
,k
2
,证明:k
1
·k
2
为定值;
(Ⅲ)M为过P且垂直于x轴的直线上的点,若
,求点M的轨迹方程。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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已知椭圆E:
,设该椭圆上的点到左焦点F(-c,0)的最大距离为d
1
,到右顶点A(a,0)的最大距离为d
2
,
(Ⅰ)若d
1
=3 ,d
2
=4 ,求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设该椭圆上的点到上顶点B(0 ,b)的最大距离为d
3
,求证:
。
题型:浙江省模拟题
难度:
|
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已知椭圆
的一个焦点F与抛物线y
2
=4x的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为
,倾斜角为45°的直线l过点F,
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的另一个焦点为F
1
,问抛物线y
2
=4x上是否存在一点M,使得M与F
1
关于直线l对称,若存在,求出点M的坐标,若不存在,说明理由。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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已知椭圆
经过点
,它的焦距|F
1
F
2
|=2,E是椭圆上一点且∠F
1
EF
2
=60°,
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)求△F
1
EF
2
的面积。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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