已知椭圆C :的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,A,B分别是椭圆的左右两个顶点,P为椭圆C上的动点,(Ⅰ)求椭圆的标准方
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已知椭圆C :的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,A,B分别是椭圆的左右两个顶点,P为椭圆C上的动点,(Ⅰ)求椭圆的标准方
题型:陕西省模拟题
难度:
来源:
已知椭圆C :
的离心率为
,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,A,B分别是椭圆的左右两个顶点,P为椭圆C上的动点,
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若P与A,B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为k
1
,k
2
,证明:k
1
·k
2
为定值;
(Ⅲ)M为过P且垂直于x轴的直线上的点,若
,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
答案
解:(Ⅰ)由题意可得圆的方程为
,
∵直线
与圆相切,
∴
,即
,
又
,即
,
,
解得
,
,
所以椭圆方程为
。
(Ⅱ)设
,
,
,
则
,即
,
则
,
,
即
,
∴
为定值
。
(Ⅲ)设
,其中
,
由已知
及点P在椭圆C上可得
,
整理得
,其中
,
①当
时,化简得
,
所以点M的轨迹方程为
,轨迹是两条平行于x轴的线段;
②当
时,方程变形为
,其中
,
当
时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足
的部分;
当
时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足
的部分;当
时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆。
举一反三
已知椭圆C :
的离心率为
,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,A,B分别是椭圆的左右两个顶点,P为椭圆C上的动点,
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若P与A,B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为k
1
,k
2
,证明:k
1
·k
2
为定值;
(Ⅲ)M为过P且垂直于x轴的直线上的点,若
,求点M的轨迹方程。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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已知椭圆E:
,设该椭圆上的点到左焦点F(-c,0)的最大距离为d
1
,到右顶点A(a,0)的最大距离为d
2
,
(Ⅰ)若d
1
=3 ,d
2
=4 ,求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设该椭圆上的点到上顶点B(0 ,b)的最大距离为d
3
,求证:
。
题型:浙江省模拟题
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已知椭圆
的一个焦点F与抛物线y
2
=4x的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为
,倾斜角为45°的直线l过点F,
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的另一个焦点为F
1
,问抛物线y
2
=4x上是否存在一点M,使得M与F
1
关于直线l对称,若存在,求出点M的坐标,若不存在,说明理由。
题型:陕西省模拟题
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已知椭圆
经过点
,它的焦距|F
1
F
2
|=2,E是椭圆上一点且∠F
1
EF
2
=60°,
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)求△F
1
EF
2
的面积。
题型:陕西省模拟题
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如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形,焦点在y轴上,且a-c=
,那么椭圆的方程是( )。
题型:陕西省模拟题
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|
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