在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为A(-3,0),B(3,0),△ABC的周长为16,(Ⅰ)求顶点C的轨迹方程;(Ⅱ)过点A作直线,

在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为A(-3,0),B(3,0),△ABC的周长为16,(Ⅰ)求顶点C的轨迹方程;(Ⅱ)过点A作直线,

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在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为A(-3,0),B(3,0),△ABC的周长为16,
(Ⅰ)求顶点C的轨迹方程;
(Ⅱ)过点A作直线,与(Ⅰ)中的曲线交于M,N两点,试判断是否存在最小值,若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由。
答案
解:(Ⅰ)∵|CA|+|CB|=10为定值,
所以C点的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,焦距2c=6,
设椭圆为方程,且2a=10,
易得a=5,c=3,b=4,
所以C点的轨迹方程为
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),
当直线MN的倾斜角不为90°时,设其方程为y=k(x+3)(k≠0),
代入椭圆方程化简,得
显然有

同理
所以


只要考虑的最小值,即考虑取最小值,
而k≠0,所以上式无最小值,
显然k=0时,取最小值16;
当直线MN的倾斜角为90°时,x1=x2=-3,

的最小值不存在。
举一反三
已知椭圆C的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),并且经过点
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知圆O:x2+y2=1,直线l:mx+ny=1,证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交;并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围。
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已知直线L:x=my+1(m≠0)过椭圆C:的右焦点F,且交椭圆C于A,B两点。(1)若抛物线x2=4y的焦点为椭圆C的上顶点,求椭圆C的方程;
(2)对于(1)中的椭圆C,若直线L交y轴于点M,且,当m变化时,求λ12的值。
题型:陕西省模拟题难度:| 查看答案
已知椭圆C:(a>b>0)的左右焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0),动直线l:x=my+c与椭圆C交于两点M,N,当时,M是椭圆C的上顶点,且△MF1F2的周长为6。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左顶点为A,直线AM,AN与直线:x=4分别相交于点P,Q,问当m变化时,以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由。
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在平面直角坐标系中,已知焦距为4的椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F,过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R,S,若线段RS的长为
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若椭圆C上存在两个不同的点关于直线l:y=9x+m对称,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若P为椭圆C在第一象限的动点,过点P作圆x2+y2=5的两条切线PA,PB,切点为A,B,直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N,求△MON(O为坐标原点)面积的最小值。
题型:上海模拟题难度:| 查看答案
设椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且,若过A,Q,F2三点的圆恰好与直线l:相切。过定点M(0,2)的直线l1与椭圆C交于G,H两点(点G在点M,H之间),
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l1的斜率k>0,在x轴上是否存在点 P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出m的取值范围,如果不存在,请说明理由;
(Ⅲ)若实数λ满足,求λ的取值范围。
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