设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线l：相切。过定点M（0，2

题型：北京期末题难度：来源：

设椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，若过A，Q，F₂三点的圆恰好与直线l：相切。过定点M（0，2）的直线l₁与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间），
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l₁的斜率k＞0，在x轴上是否存在点 P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数λ满足，求λ的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）因为，
所以的中点，
设Q的坐标为（-3c，0），
因为，
所以，且过三点的圆的圆心为，半径为2c，
因为该圆与直线l相切，所以，解得c=1，
所以，
故所求椭圆方程为；
（Ⅱ）设l₁的方程为y=kx+2（k＞0），
由得，
设，则，
所以
，
，
由于菱形对角线互相垂直，则，
所以，
故，
因为k＞0，所以，
所以，
即，
所以，
解得，即，
因为k＞0，所以，
故存在满足题意的点P且m的取值范围是。
（Ⅲ）①当直线l₁斜率存在时，设直线l₁方程为y=kx+2，
代入椭圆方程得，
由△＞0，得，
设，
则，
又，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，整理得，
因为，
所以，即，
所以，
解得，
又0＜λ＜1，所以；
②又当直线l₁斜率不存在时，直线l₁的方程为x=0，
此时，，
所以，
所以，
即所求λ的取值范围是。