如图,过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A,B,作圆的切线AC,BD,再过圆上任意一点H作圆的切线,交AC,BD于C,D两点,设AD,BC的交点为R,(Ⅰ)求动
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如图,过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A,B,作圆的切线AC,BD,再过圆上任意一点H作圆的切线,交AC,BD于C,D两点,设AD,BC的交点为R,(Ⅰ)求动
题型:安徽省模拟题
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来源:
如图,过圆x
2
+y
2
=4与x轴的两个交点A,B,作圆的切线AC,BD,再过圆上任意一点H作圆的切线,交AC,BD于C,D两点,设AD,BC的交点为R,
(Ⅰ)求动点R的轨迹E的方程;
(Ⅱ)过曲线E的右焦点作直线l交曲线E于M,N两点,交y轴于P点,且记
,求证:λ
1
+λ
2
为定值。
答案
解:(Ⅰ)设点H的坐标为
,则
,
由题意,可知
,且以H为切点的圆的切线的斜率为
,
故切线方程为
,
展开得
,
即以H为切点的圆的切线方程为
,
∵
,将x=±2代入上述方程可得点C,D的坐标分别为
,
则
, ①
及
,②
将两式相乘并化简可得动点R的轨迹E的方程为
,即
。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,轨迹E为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为
,
(ⅰ)当直线l斜率为0时,M,N,P三点在x轴上,不妨设
,且
,
此时有
,
,
所以,
。
(ⅱ)当斜率不为0时,设直线MN的方程为
,
则点P的坐标为
,
且设点
,
联立
,消去x,得
,
则
,
(定值)。
举一反三
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-
,0),(
,0),离心率是
,直线y=t与椭圆C交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆P,圆心为P,
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;
(Ⅲ)设Q(x,y)是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值.
题型:北京高考真题
难度:
|
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已知椭圆
的离心率
,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),
(ⅰ)若
,求直线l的倾斜角;
(ⅱ)若点Q(0,y
0
)在线段AB的垂直平分线上,且
,求y
0
的值。
题型:天津高考真题
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|
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为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过A,B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(下图).考察范围为到A,B两点的距离之和不超过10km的区域.
(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程;
(Ⅱ)如图所示,设线段P
1
P
2
是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍,问:经过多长时间,点A恰好在冰川边界线上?
题型:湖南省高考真题
难度:
|
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椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F
1
,F
2
在x轴上,离心率e=
,
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)求∠F
1
AF
2
的角平分线所在直线的方程.
题型:安徽省高考真题
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|
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已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标。
题型:山东省高考真题
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