(I)设椭圆方程为+=1(a>b>0),∵椭圆过点P(,1),则由椭圆的定义知 2a=|PF1|+|PF2|=+=2 所以,a=,b2=a2-c2=1, 椭圆C的方程为x2+=1. (II)解法一: 若直线l与x轴重合,则以AB为直径的圆是x2+y2=1; 若直线l垂直于x轴时,则以AB为直径的圆是(x+)2+y2= 由解得,所以两圆相切于点(1,0). 因此,如果存在点T满足条件,则该点只能是(1,0) 下面证明T(1,0)就是所求的点. 若直线l垂直于x轴时, 则以AB为直径的圆经过点(1,0); 若直线l不垂直于x轴时,可设直线l:y=k(x+) 由,整理得(k2+2)x2+k2x+k2-2=0 记A(x1,y1)、B(x2,y2),则 又因为=(x1-1,y1),=(x2-1,y2), 则•=(x1-1,y1)•(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2 =(x1-1)(x2-1)+k2(x1+)(x2+)=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1 =(k2+1)•+(k2-1)•+k2+1=0 所以,TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过定点T(1,0), 故平面上存在一个定点T(1,0)满足题设条件 解法二:(I)由已知c=1,设椭圆方程为+=1 (a>1). 因为点P在椭圆上,则+=1 (a>1),解得a2=2, 所以椭圆方程为x2+=1 (II)如果存在定点T(u,v)满足条件. 若直线l垂直于x轴时, 则以AB为直径的圆经过点(1,0); 若直线l不垂直于x轴时,可设直线l:y=k(x+). 由,整理得(k2+2)x2+k2x+k2-2=0 记A(x1,y1)、B(x2,y2),则 ∵又因为=(x1-u,y1-v),=(x2-u,y2-v), 则•=(x1-u,y1-v)•(x2-u,y2-v)=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v) =(x1-u)(x2-u)+(kx1+k-v)(kx2+k-v) =(k2+1)x1x2+(k2-u-kv)(x1+x2)+k2-kv+u2+v2 =(k2+1)•+(k2-u-kv)•+k2-kv+u2+v2 =(3u2+2u+3v2-5)k2-4vk+6u2+6v2-6 | 3(k2+2) |
当且仅当•=0恒成立时,以AB为直径的圆恒过点T(u,v).•=0恒成立等价于 | 3u2+2u+3v2-5=0 | -4v=0 | 6u2+6v2-6=0 |
| | , 解得u=1,v=0 所以当u=1,v=0时,无论直线l如何转动,以AB为直径的圆恒过定点T(1,0). 故平面上存在一个定点T(1,0)满足题目条件. |