已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AB,B
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已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AB,B
题型:惠州模拟
难度:
来源:
已知直线x-2y+2=0经过椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AB,BS与直线
l:x=
10
3
分别交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求线段MN的长度的最小值.
答案
(1)由已知得,椭圆C的左顶点为A(-2,0),上顶点为D(0,1),
∴a=2,b=1,
故椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
=1
.
(2)直线AS的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而
M(
10
3
,
16
3
k)
.
由
y=k(x+2)
x
2
4
+
y
2
=1
得(1+4k
2
)x
2
+16k
2
x+16k
2
-4=0.
设S(x
1
,y
1
),则
(-2)•
x
1
=
16
k
2
-4
1+4
k
2
得
x
1
=
2-8
k
2
1+4
k
2
,从而
y
1
=
4k
1+4
k
2
.
即
S(
2-8
k
2
1+4
k
2
,
4k
1+4
k
2
)
,又B(2,0)
由
y=-
1
4k
(x-2)
x=
10
3
得
x=
10
3
y=-
1
3k
,∴
N(
10
3
,-
1
3k
)
,
故
|MN|=|
16k
3
+
1
3k
|
,
又k>0,∴
|MN|=
16
3
k+
1
3k
≥2
16k
3
•
1
3k
=
8
3
.当且仅当
16k
3
=
1
3k
,即k=
1
4
时等号成立
∴k=
1
4
时,线段MN的长度取最小值
8
3
.
举一反三
为了加快经济的发展,某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的发展,决定在A、B两城市的周边修建城际轻轨,假设10km为一个单位距离,A、B两城市相距8个单位距离,设城际轻轨所在的曲线为E,使轻轨E上的点到A、B两市的距离之和为10个单位距离.
(1)建立直角坐标系,求城际轻轨所在曲线E的方程;
(2)若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N,使M、N、B三点在一条直线上,并且AM+AN=12个单位距离,求M、N之间的距离有多少个单位距离?
(3)在A、B两城市之间有一条与AB所在直线成45°的笔直公路l,直线l与曲线E交于P,Q两点,求四边形PAQB的面积的最大值.
题型:蓝山县模拟
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率
e=
1
2
,且经过点A(2,3).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线AO(O是坐标原点)与椭圆C相交于点B,试证明在椭圆C上存在不同于A、B的点P,使AP
2
=AB
2
+BP
2
(不需要求出点P的坐标).
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知A、B、C三点在曲线y=
(x≥0
)上,其横坐标依次为1,m,4(1<m<4),当△ABC的面积最大时,m=( )
A.3
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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设P是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
=1 (a>1)
短轴的一个端点,Q为椭圆上一个动点,求|PQ|的最大值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知一点P的坐标是(4,-2),直线L的方程是y-x+5=0,曲线C的方程是
(x+1)
2
2
+
(y-1)
2
4
=1
,求经过P点而与L垂直的直线和曲线C的交点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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