已知F1(-2,0),F2(2,0)是椭圆C的两个焦点,过F1的直线与椭圆C的两个交点为M,N,且|MN|的最小值为6.(I)求椭圆C的方程;(II)设A,B为

已知F1(-2,0),F2(2,0)是椭圆C的两个焦点,过F1的直线与椭圆C的两个交点为M,N,且|MN|的最小值为6.(I)求椭圆C的方程;(II)设A,B为

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已知F1(-2,0),F2(2,0)是椭圆C的两个焦点,过F1的直线与椭圆C的两个交点为M,N,且|MN|的最小值为6.
(I)求椭圆C的方程;
(II)设A,B为椭圆C的长轴顶点.当|MN|取最小值时,求∠AMB的大小.
答案
(Ⅰ)由题意,设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其中c=2,a2-b2=4.
设M(x1,y1),N(x2,y2).
若直线MN⊥x轴,则MN的方程为x=-2,代入
x2
a2
+
y2
b2
=1,得y2=b2(1-
4
a2
)=
b4
a2

∴|y1-y2|=
b2
a
,即|AB|=
2b2
a

若直线MN不与x轴垂直,则设MN的方程为y=k(x+2),代入
x2
a2
+
y2
b2
=1,
x2
a2
+
k2(x2+4x+4)
b2
=1,
即 (a2k2+b2)x2+4a2k2x+a2(4k2-b2)=0.
△=(4a2k22-4(a2k2+b2)a2(4k2-b2
=4a2b2[(a2-4)k2+b2]=4a2b4(1+k2),
∴|x1-x2|=
2ab2


1+k2
a2k2+b2

∴|MN|=
2ab2


1+k2
a2k2+b2


1+k2

=
2ab2(1+k2)
a2k2+b2

=
2b2
a
1+k2
k2+
b2
a2
2b2
a

综上,|MN|的最小值为
2b2
a

由题知
2b2
a
=6,即 b2=3a.
代入a2-b2=4,得a2-3a-4=0,
解得a=-1(舍),或a=4.∴b2=12.
∴椭圆C的方程为
x2
16
+
y2
12
=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(-4,0),B(4,0).
当|MN|取得最小值时,MN⊥x轴.
根据椭圆的对称性,不妨取M(-2,3),
∠AMB即直线AM到直线MB的角.
∵AM的斜率k1=
3-0
-2+4
=
3
2

BM的斜率k2=
3-0
-2-4
=-
1
2

∴tan∠AMB=
k2-k1
1+k1k2
=-8.
∵∠AMB∈(0,π),
∴∠AMB=π-arctan8.
举一反三
椭圆数学公式上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,O是椭圆中心,则|ON|的值是(  )
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A.2B.4C.8D.数学公式
经过点M(-2,1)作直线l交椭圆
x2
6
+
y2
4
=1
于S、T两点,且M是ST的中点,求直线l的方程.
已知双曲线数学公式的准线过椭圆数学公式+数学公式=1的焦点,则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是(  )
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A.K∈[-数学公式数学公式]B.K∈[-∞,-数学公式]∪[数学公式,+∞]
C.K∈[-]D.K∈[-∞,-]∪[,+∞]
椭圆
x2
3
+y2=1
上到直线x+y=4的最近距离为______.
已知F1、F2为椭圆E的左右两个焦点,抛物线C以F1为顶点,F2为焦点,设P为椭圆与抛物线的一个交点,如果椭圆离心率为e,且|PF1|=e|PF2|则e的值为(  )
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