设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为e=22，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上一

题型：广州模拟难度：来源：

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为e=

2

2

，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上一动点P（x₀，，y₀）关于直线y=2x的对称点为P1(x1，

y1

，求3x₁-4y₁的取值范围．

答案

（1）依题意知，2a=4，∴a=2．
∵e=

c

a

=

2

2

，
∴c=

2

，b=

a2-c2

=

2

．
∴所求椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）∵点P（x₀，，y₀）关于直线y=2x的对称点为P1(x1，

y1

，
∴

y0-y1 x0-x1 ×2=-1 y0+y1 2 =2× x0+x1 2

解得：x1=

4y0-3x0

5

，y1=

3y0+4x0

5

．
∴3x₁-4y₁=-5x₀．
∵点P（x₀，，y₀）在椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1上，
∴-2≤x₀≤2，则-10≤-5x₀≤10．
∴3x₁-4y₁的取值范围为[-10，，10]．