我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径R=34百公里）的中心F为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A到火

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我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径R=34百公里）的中心F为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为

ab

百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）．

答案

设所求轨道方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1  ( a＞b＞0 )，c=

a2-b2

．
∵a+c=800+34，a-c=8+34，
∴a=438，c=396．…（4分）
于是 b²=a²-c²=35028．
∴所求轨道方程为 

x2

191844

+

y2

35028

=1．…（8分）
设变轨时，探测器位于P（x₀，y₀），则x₀²+y₀²=ab=81975.1，
又

x 20

191844

+

y 20

35028

=1，
解得 x₀=239.7，y₀=156.7．…（11分）
∴探测器在变轨时与火星表面的距离为

(x0-c)2+ y 20

-R≈187.3．…（14分）
答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．…（16分）