已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为3,最小值为1.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的

已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为3,最小值为1.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的

题型:山东难度:来源:
已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为3,最小值为1.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是左、右顶点),且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.
答案
(Ⅰ)设椭圆的长半轴为a,半焦距为c,





a+c=3
a-c=1
解得





a=2
c=1

∴椭圆C的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)由方程组





x
4
+
y2
3
=1
y=kx+m
消去y,
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0
由题意:△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0
整理得:3+4k2-m2>0 ①
设M(x1,y1)、N(x2,y2),
x1+x2=-
8km
3+4k2
x1x2=
4m2-12
3+4k2

由已知,AM⊥AN,且椭圆的右顶点为A(2,0)
∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0
即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0
也即(1+k2)•
4m2-12
3+4k2
+(km-2)•
-8km
3+4k2
+m2+4=0

整理得:7m2+16mk+4k2=0
解得:m=-2k或m=-
2k
7
,均满足①
当m=-2k时,直线l的方程为y=kx-2k,过定点(2,0),舍去
m=-
2k
7
时,直线l的方程为y=k(x-
2
7
)
,过定点(
2
7
,0)

故直线l过定点,且定点的坐标为(
2
7
,0)
举一反三
已知A(4,0),B(2,2)是椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
内的点,M是椭圆上的动点,则MA+MB的最大值是______
题型:不详难度:| 查看答案
已知F1(-2,0),F2(2,0)是椭圆C的两个焦点,过F1的直线与椭圆C的两个交点为M,N,且|MN|的最小值为6.
(I)求椭圆C的方程;
(II)设A,B为椭圆C的长轴顶点.当|MN|取最小值时,求∠AMB的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆数学公式上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,O是椭圆中心,则|ON|的值是(  )
题型:不详难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
A.2B.4C.8D.数学公式
经过点M(-2,1)作直线l交椭圆
x2
6
+
y2
4
=1
于S、T两点,且M是ST的中点,求直线l的方程.
已知双曲线数学公式的准线过椭圆数学公式+数学公式=1的焦点,则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是(  )
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