已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为,且经过点(-1,),过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M.(1)求椭圆C的方程;(2)求直线
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已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为,且经过点(-1,),过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M.(1)求椭圆C的方程;(2)求直线
题型:湖北省模拟题
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来源:
已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为
,且经过点(-1,
),过点P(2,1)的直线
l
与椭圆C在第一象限相切于点M.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求直线
l
的方程以及点M的坐标;
(3)是否存在过点P的直线l
与椭圆C相交于不同的两点A,B,满足
·
=
?若存在,求出直线
l
的方程;若不存在,请说明理由.
答案
解:⑴设椭圆C的方程为
+
=1(a>b>0),
由题意,得
解得a
2
=4,b
2
=3,故椭圆C的方程为
⑵因为过点P(2,1)的直线l与椭圆在第一象限相切,所以l的斜率存在,
故可设直线l的方程为y=k(x-2)+1.
由
,得(3+4k
2
)x
2
-8k(2k-1)x+16k
2
-16k-8=0.①
因为直线l与椭圆相切,所以Δ=[-8k(2k-1)]
2
-4(3+4k
2
)(16k
2
-16k-8)=0.
整理,得32(6k+3)=0,解得k=-
.
所以直线l方程为y=-
(x-2)+1=-
x+2.
将k=-
代入①式,可以解得M点的横坐标为1,
故切点M的坐标为(1,
).
⑶若存在直线l
1
满足条件,
设其方程为y=k
1
(x-2)+1,代入椭圆C的方程,得(3+4k
2
1
)x
2
-8k
1
(2k
1
-1)x+16k
2
1
-16k
1
-8=0.
因为直线l
1
与椭圆C相交于不同的两点A,B,
设A,B两点的坐标分别为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
所以Δ=[-8k
1
(2k
1
-1)]
2
-4(3+4k
2
1
)(16k
2
1
-16k
1
-8)=32(6k
1
+3)>0.
所以k
1
>-
.x
1
+x
2
=
,x
1
x
2
=
.
因为
·
=
即(x
1
-2)(x
2
-2)+(y
1
-1)(y
2
-1)=
,
所以(x
1
-2)(x
2
-2)(1+k
2
1
)=|PM|
2
=
.
即[x
1
x
2
-2(x
1
+x
2
)+4](1+k
2
1
)=
.
所以[
-2·
+4](1+k
2
1
)=
,解得k
1
=±
.
因为k
1
>-
所以k
1
=
.
于是存在直线l
1
满足条件,
其方程为y=
x
举一反三
已知△ABC的顶点A、B在椭圆x
2
+3y
2
=4上,点C在直线l:y=x+2上,且AB∥l
(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;
(2)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.
题型:上海市模拟题
难度:
|
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椭圆
的离心率为
,若直线
与其一个交点的横坐标为b,则k的值为
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:山东省模拟题
难度:
|
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如图,已知椭圆
分别为其左右焦点,A为左顶点,直线l的方程为x=4,过F
2
的直线
l
′与椭圆交于异于A的P、Q两点.
(Ⅰ)求
的取值范围;
(Ⅱ)若
求证:
M、N
两点的纵坐标之积为定值;并求出该定值.
题型:山东省模拟题
难度:
|
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如图,椭圆C :
的左右顶点为A
1
,A
2
,左右焦点为F
1
,F
2
,其中F
1
,F
2
是A
1
A
2
的三等分点,A是椭圆上任意一点,且|AF
1
|+|AF
2
|=6
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线AF
1
与椭圆交于另一点B,与y轴交于一点C,记
,若点A在第一象限,求m+n的取值范围;
题型:辽宁省模拟题
难度:
|
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已知椭圆
上任一点P,由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q,点M在PQ上,且
,点M的轨迹为C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点
作直线l与曲线C交于A、B两点,设N是过点
且平行于x轴的直线上一动点,满足
(O为原点),且四边形OANB为矩形,求出直线l的方程.
题型:四川省模拟题
难度:
|
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