如图,椭圆C :的左右顶点为A1,A2,左右焦点为F1,F2,其中F1,F2是A1A2的三等分点,A是椭圆上任意一点,且|AF1|+|AF2|=6(1)求椭圆C

如图,椭圆C :的左右顶点为A1,A2,左右焦点为F1,F2,其中F1,F2是A1A2的三等分点,A是椭圆上任意一点,且|AF1|+|AF2|=6(1)求椭圆C

题型:辽宁省模拟题难度:来源:
如图,椭圆C :的左右顶点为A1,A2,左右焦点为F1,F2,其中F1,F2是A1A2的三等分点,A是椭圆上任意一点,且|AF1|+|AF2|=6
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线AF1与椭圆交于另一点B,与y轴交于一点C,记,若点A在第一象限,求m+n的取值范围;
答案
解:(1)∵F1,F2是A1A2的三等分点
∴a=3c
又∵|AF1|+|AF2|=6  
∴a=3  
∴b2=8
∴椭圆C的方程为:
(2)F1(-1,0),当直线与x轴重合时,显然不合题意,
当直线不与x轴重合时,设直线AF1:x=my-1 
 代入到椭圆方程并消元整理得:(8m2+9)y2-16my-64=0 …………①
△=162×9(m2+1)>0恒成立;
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是方程①的两个解,
由韦达定理得:
在x=my-1中令x=0得C点坐标为
(∵A在第一象限∴x1=my1-1>0,y1>0)
同理:

∵A在第一象限  
∴C点在椭圆内部


∴m+n的取值范围是(2,+∞)
举一反三
已知椭圆上任一点P,由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q,点M在PQ上,且,点M的轨迹为C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点作直线l与曲线C交于A、B两点,设N是过点且平行于x轴的直线上一动点,满足 (O为原点),且四边形OANB为矩形,求出直线l的方程.
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已知点P为圆 x2+y2=4上的动点,且P不在x 轴上,PD⊥x 轴,垂足为D,线段PD中点Q的轨迹为曲线C,过定点M(t,0)(0< t <2)任作一条与y轴不垂直的直线l ,它与曲线C交于A、B两点。
(1)求曲线C的方程;
(2)试证明:在x轴上存在定点N,使得∠ANB总能被x轴平分
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已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若椭圆上存在一点M满足,                                      
(Ⅰ)求a的最小值;
(Ⅱ)设,过椭圆的右顶点的直线l与椭圆交于点D(点D不同于点C),交y轴于点P(点P不同于坐标原点O),C直线AD与BC交于点Q.当a取最小值时,判断是否为定值,并证明你的结论.


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已知椭圆长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为:3+2,3-2
(1)求椭圆的方程;
(2)如果直线 与椭圆相交于A,B,若C(-3,0),D(3,0),证明:直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上;
(3)过点Q(1,0 )作直线l (与x轴不垂直)与椭圆交于M,N两点,与y轴交于点R,若,求证:为定值.
题型:浙江省模拟题难度:| 查看答案
已知椭圆的左、右焦点分别为F1F2,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点,直线l经过点F2,倾斜角为,与椭圆交于AB两点.
(1)若,求椭圆方程;
(2)对(1)中椭圆,求的面积;
(3)M是椭圆上任意一点,若存在实数,使得,试确定的关系式.
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