已知点P为圆 x2+y2=4上的动点,且P不在x 轴上,PD⊥x 轴,垂足为D,线段PD中点Q的轨迹为曲线C,过定点M(t,0)(0< t <2)任
题型:山东省模拟题难度:来源:
已知点P为圆 x2+y2=4上的动点,且P不在x 轴上,PD⊥x 轴,垂足为D,线段PD中点Q的轨迹为曲线C,过定点M(t,0)(0< t <2)任作一条与y轴不垂直的直线l ,它与曲线C交于A、B两点。 (1)求曲线C的方程; (2)试证明:在x轴上存在定点N,使得∠ANB总能被x轴平分 |
答案
解:(1)设Q(x,y)为曲线C上的任意一点,则点P(x,2y)在圆x2+y2=4上, ∴x2+4y2=4,曲线C的方程为. (2)设点N的坐标为(n,0),直线l的方程为x=sy+t, 代入曲线C的方程,可得 ∵0< t < 2,∴ ∴直线l与曲线C总有两个公共点. 设点A,B的坐标分别(x1,y1),(x2,y2),则 要使∠ANB被x轴平分,只要 即 ,y1(x2-n)+y2(x1-n)=0, 也就是y1(sy2+t-n)+y2(sy1+t-n)=0,2sy1y2+(t-n)(y1+y2)=0, 即 , 即只要(nt-4)s=0 当 时,(*)对任意的s都成立,从而∠ANB总能被x轴平分. 所以在x轴上存在定点,使得∠ANB总能被x轴平分 |
举一反三
已知椭圆长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为:3+2,3-2。 (1)求椭圆的方程; (2)如果直线 与椭圆相交于A,B,若C(-3,0),D(3,0),证明:直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上; (3)过点Q(1,0 )作直线l (与x轴不垂直)与椭圆交于M,N两点,与y轴交于点R,若,求证:为定值. |
已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点,直线l经过点F2,倾斜角为,与椭圆交于A、B两点. (1)若,求椭圆方程; (2)对(1)中椭圆,求的面积; (3)M是椭圆上任意一点,若存在实数,使得,试确定的关系式. |
已知点P是圆上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线m分别与PF1,PF2交于M,N两点. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)斜率为1的直线l与曲线C交于A,B两点,若(O为坐标原点),求直线l的方程. |
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