已知点P是圆上任意一点，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1,PF2交于M,N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）斜率为1的直线l与

题型：湖北省期中题难度：来源：

已知点P是圆上任意一点，点F₂与点F₁关于原点对称．线段PF₂的中垂线m分别与PF₁,PF₂交于M,N两点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为1的直线l与曲线C交于A,B两点,若（O为坐标原点），求直线l的方程．

答案

解：（1）由题意得，圆F₁的半径为，且  
从而  
∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆,   
其中长轴,得到,焦距2c=2，
则短半轴b=1
椭圆方程为:   
（2）设直线l的方程为y=x+n,
由 可得
则,即     ①   
设,则
由可得,即
整理可得      
化简可得3n²=4,满足①式，
故直线l的方程为：