已知点P是圆上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线m分别与PF1,PF2交于M,N两点.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)斜率为1的直线l与

已知点P是圆上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线m分别与PF1,PF2交于M,N两点.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)斜率为1的直线l与

题型:湖北省期中题难度:来源:
已知点P是圆上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线m分别与PF1,PF2交于M,N两点.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)斜率为1的直线l与曲线C交于A,B两点,若(O为坐标原点),求直线l的方程.
答案

解:(1)由题意得,圆F1的半径为,且  
从而  
∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆,   
其中长轴,得到,焦距2c=2,
则短半轴b=1
椭圆方程为:   
(2)设直线l的方程为y=x+n,
可得
,即     ①   
,则
可得,即
整理可得      
化简可得3n2=4,满足①式,
故直线l的方程为:  

举一反三
已知点是直线y=x+2上任意一点,以A、B为焦点的椭圆过点P.记椭圆离心率e关于x0的函数为e(x0),那么下列结论正确的是  A.e与x0一一对应                
B.函数e(x0)无最小值,有最大值  
C.函数e(x0)是增函数            
D.函数e(x0)有最小值,无最大值
题型:陕西省模拟题难度:| 查看答案
已知椭圆的短轴长等于焦距,椭圆C上的点到右焦点的最短距离为
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点且斜率为的直线交于两点,是点关于轴的对称点,证明:三点共线.
题型:河北省模拟题难度:| 查看答案
已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),求实数t的取值范围.
题型:黑龙江省模拟题难度:| 查看答案
如图,椭圆轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.
(1)求实数的值
(2)设轴的交点为,过坐标原点的直线相交于点,直线分别与相交与.
①证明:
②记△,△的面积分别是.若=,求的取值范围.
题型:上海市模拟题难度:| 查看答案
已知椭圆的左、右焦点分别为, 点是椭圆的一个顶点,△是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆上一动点,求线段的中点的轨迹方程;
(3)过点分别作直线交椭圆于两点,设两直线的斜率分别为,且,探究:直线是否过定点,并说明理由.
题型:上海市模拟题难度:| 查看答案
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