已知椭圆的左、右焦点分别为,, 点是椭圆的一个顶点,△是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程;(2)设点是椭圆上一动点,求线段的中点的轨迹方程;(3)过点分别作直
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已知椭圆的左、右焦点分别为,, 点是椭圆的一个顶点,△是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程;(2)设点是椭圆上一动点,求线段的中点的轨迹方程;(3)过点分别作直
题型:上海市模拟题
难度:
来源:
已知椭圆
的左、右焦点分别为
,
, 点
是椭圆的一个顶点,△
是等腰直角三角形.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设点
是椭圆
上一动点,求线段
的中点
的轨迹方程;
(3)过点
分别作直线
,
交椭圆于
,
两点,设两直线的斜率分别为
,
,且
,探究:直线
是否过定点,并说明理由.
答案
解:(1)由已知可得
,
所求椭圆方程为
.
(2)设点
,
的中点坐标为
,
则
由
,
得
,代入上式 ,得
(3)若直线
的斜率存在,
设
方程为
,依题意
.
设
,
,
由
得
.
则
.
由已知
,
所以
,即
.
所以
,整理得
.
故直线
的方程为
,即
(
)
.
所以直线
过定点(
).
若直线
的斜率不存在,
设
方程为
,
设
,
,
由已知
,得
.
此时
方程为
,显然过点(
).
综上,直线
过定点(
).
举一反三
”m>n>0”是”方程mx
2
+ny
2
=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题型:陕西
难度:
|
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椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一焦点.一水平放置的椭圆形台球盘,F
1
,F
2
是其焦点,长轴长2a,焦距为2c.一静放在F
1
点处的小球(半径忽略不计),受击打后沿直线运动(不与直线F
1
F
2
重合),经椭圆壁反弹后再回到点F
1
时,小球经过的路程是( )
A.4c
B.4a
C.2(a+c)
D.4(a+c)
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
的两焦点为F
1
,F
2
,一直线过F
1
交椭圆于P、Q,则△PQF
2
的周长为______.
题型:不详
难度:
|
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如图把椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1
的长轴AB分成8分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P
1
,P
2
,…P
7
七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P
1
F|+|P
2
F|+…+|P
7
F|=______.
题型:四川
难度:
|
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某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界),其边界是长轴长为2a,短轴长为2b的椭圆,已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h
1
、h
2
,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上,现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计),在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ
1
、θ
2
,那么船只已进入该浅水区的判别条件是______.
题型:上海
难度:
|
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