已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C

题型：黑龙江省模拟题难度：来源：

已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

答案

解：（1）椭圆C的方程为：   
（2）由题意知直线AB的斜率存在。设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由此可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）>0，，
 
∵
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），，  
∵点P在椭圆上，
∴， 16k²=t²（1+2k²）     
∴， 
∴t²∈（0，4） 
∴t∈（-2，0） ∪（0，2）