已知椭圆的短轴长等于焦距,椭圆C上的点到右焦点的最短距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点且斜率为的直线与交于、两点,是点关于轴的对称点,证明:三点共线.
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已知椭圆的短轴长等于焦距,椭圆C上的点到右焦点的最短距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点且斜率为的直线与交于、两点,是点关于轴的对称点,证明:三点共线.
题型:河北省模拟题
难度:
来源:
已知椭圆
的短轴长等于焦距,椭圆C上的点到右焦点
的最短距离为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点
且斜率为
的直线
与
交于
、
两点,
是点
关于
轴的对称点,证明:
三点共线.
答案
解:(I)由题可知:
解得
,
∴椭圆C的方程为
(II)设直线
:
,
,
,
,
,
由
得
所以
,
.
而
,
∵
∴N、F、P三点共线
举一反三
已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足
(O为坐标原点),求实数t的取值范围.
题型:黑龙江省模拟题
难度:
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如图,椭圆
,
轴被曲线
截得的线段长等于
的长半轴长.
(1)求实数
的值
(2)设
与
轴的交点为
,过坐标原点
的直线
与
相交于点
,直线
分别与
相交与
.
①证明:
②记△
,△
的面积分别是
.若
=
,求
的取值范围.
题型:上海市模拟题
难度:
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已知椭圆
的左、右焦点分别为
,
, 点
是椭圆的一个顶点,△
是等腰直角三角形.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设点
是椭圆
上一动点,求线段
的中点
的轨迹方程;
(3)过点
分别作直线
,
交椭圆于
,
两点,设两直线的斜率分别为
,
,且
,探究:直线
是否过定点,并说明理由.
题型:上海市模拟题
难度:
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”m>n>0”是”方程mx
2
+ny
2
=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题型:陕西
难度:
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椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一焦点.一水平放置的椭圆形台球盘,F
1
,F
2
是其焦点,长轴长2a,焦距为2c.一静放在F
1
点处的小球(半径忽略不计),受击打后沿直线运动(不与直线F
1
F
2
重合),经椭圆壁反弹后再回到点F
1
时,小球经过的路程是( )
A.4c
B.4a
C.2(a+c)
D.4(a+c)
题型:不详
难度:
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