已知椭圆,、是其左、右焦点,椭圆上的任一点,△的重心为,内心为,且有. (1)求椭圆的离心率;(2)过焦点的直线与椭圆交于、两点,若△面积的最大值是,求椭圆的方

已知椭圆,、是其左、右焦点,椭圆上的任一点,△的重心为,内心为,且有. (1)求椭圆的离心率;(2)过焦点的直线与椭圆交于、两点,若△面积的最大值是,求椭圆的方

题型:黑龙江省模拟题难度:来源:
已知椭圆是其左、右焦点,椭圆上的任一点,△的重心为,内心为,且有
(1)求椭圆的离心率
(2)过焦点的直线与椭圆交于两点,若△面积的最大值是,求椭圆的方程.
答案

解:设P
∵G为的重心,
∴G点坐标为 G

,      
的纵坐标为
在焦点中,

又∵的内心,
的纵坐标即为内切圆半径,
内心分为三个底分别为的三边,高为内切圆半径的小三角形

∴2c=a,        
∴椭圆C的离心率e=
(2)设过椭圆焦点的直线的方程为

 

设点M,N坐标为

m2+1≥1


举一反三
已知圆G:x2+y2-2x-,经过椭圆(a>b>0)的右焦点F及上顶点B,过椭圆外一点M(m,0)(m>0)的倾斜角为的直线l交椭圆于C.D两点.
(Ⅰ)求椭圆方程
(Ⅱ)当右焦点在以线段CD为直径的圆E的内部,求实数m的范围
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已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为,且经过点(-1,),过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求直线l的方程以及点M的坐标;
(3)是否存在过点P的直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,满足·=?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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已知△ABC的顶点A、B在椭圆x2+3y2=4上,点C在直线l:y=x+2上,且AB∥l
(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;
(2)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.
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椭圆的离心率为,若直线与其一个交点的横坐标为b,则k的值为


[     ]
A.          
B.        
C.            
D.
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如图,已知椭圆分别为其左右焦点,A为左顶点,直线l的方程为x=4,过F2的直线l′与椭圆交于异于A的P、Q两点.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)若求证:M、N两点的纵坐标之积为定值;并求出该定值.
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