已知直线l：与椭圆C：（a>1）交于P，Q两点。（1）设PQ中点M（x0，y0），求证：；（2）椭圆C的右顶点为A，且A在以PQ为直径的圆上，求△OPQ的

题型：黑龙江省模拟题难度：来源：

已知直线l：与椭圆C：（a>1）交于P，Q两点。
（1）设PQ中点M（x₀，y₀），求证：；
（2）椭圆C的右顶点为A，且A在以PQ为直径的圆上，求△OPQ的面积（O为坐标原点）。

答案

解：（1）设直线l与椭圆C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
将代入x²+a²y²-a²=0，
整理可得
由韦达定理得
∵M（x₀，y₀）为PQ中点，
∴
故。
（2）依题意
得（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0
又
∴
整理可得5x₁·x₂-（2+a）（x₁+x₂）+a²+3=0， ②
将①代入②得

∵a>1，则
∴
故所求椭圆方程为
联立椭圆与直线方程得
∴
原点到直线的距离为
∴。