设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求: (1)动点P的轨迹方程; (2)的最小值与

设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求: (1)动点P的轨迹方程; (2)的最小值与

题型:辽宁省高考真题难度:来源:
设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求:
(1)动点P的轨迹方程;
(2)的最小值与最大值。
答案
解:(1)直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1

由题设可得点A、B的坐标是方程组
的解
将①代入②并化简得
所以
于是
设点P的坐标为
消去参数k得 ③
当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,
所以点P的轨迹方程为
(2)由点P的轨迹方程知,即
所以
故当取得最小值,最小值为
时,取得最大值
举一反三
已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是F(-m,0)(m是大于0的常数)。
(1)求椭圆的方程;
(2)设Q是椭圆上的一点,且过点F、Q的直线l与y轴交于点M,若,求直线l的斜率。
题型:江苏高考真题难度:| 查看答案
对任意实数k,直线:y=kx+b与椭圆:恒有公共点,则b取值范围是(    )。
题型:重庆市高考真题难度:| 查看答案
如图,已知椭圆的长轴A1A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心M(0,r),(b>r>0)。
(1)写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率;
(2)设直线y=k1x与椭圆交于C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0),直线y=k2x与椭圆交于G(x3,y3),H(x4,y4)(y4>0),求证:
(3)对于(2)中的在C,D,G,H,设CH交x轴于P点,GD交x轴于Q点,求证:|OP|=|OQ|。
题型:北京高考真题难度:| 查看答案
已知椭圆(常数m,n∈R+,且m>n)的左、右焦点分别为F1,F2,M,N为短轴的两个端点,且四边形F1MF2N是边长为2的正方形,
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)过原点且斜率分别为k和-k(k≥2)的两条直线与椭圆的交点为A,B,C,D(按逆时针顺序排列,且点A位于第一象限内),求四边形ABCD的面积S的最大值。
题型:福建省模拟题难度:| 查看答案
已知椭圆(a>b>0)的焦距为,离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)设过椭圆顶点B(0,b),斜率为k的直线交椭圆于另一点D,交x轴于点E,且|BD|,|BE|,|DE|成等比数列,求k2的值。
题型:北京模拟题难度:| 查看答案
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