(1)设y=kx+t(k>0), 由题意,t>0,由方程组,得(3k2+1)x2+6ktx+3t2﹣3=0, 由题意△>0, 所以3k2+1>t2,设A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2=﹣,所以y1+y2=, ∵线段AB的中点为E,∴xE=,yE=, 此时kOE==﹣. 所以OE所在直线方程为y=﹣x, 又由题设知D(﹣3,m). 令x=﹣3,得m=,即mk=1, 所以m2+k2≥2mk=2, (2)(i)证明:由(1)知OD所在直线方程为y=﹣x, 将其代入椭圆C的方程,并由k>0,解得G(﹣,), 又E(,),D(﹣3,), 由距离公式和t>0,得 |OG|2=(﹣)2+()2=, |OD|=, |OE|==. 由|OG|2=|OD|∙|OE|, 得t=k, 因此直线l的方程为y=k(x+1), 所以直线l恒过定点(﹣1,0); (ii)由(i)得G(﹣,), 若点B,G关于x轴对称,则B(﹣,﹣), 将点B坐标代入y=k(x+1), 整理得, 即6k4﹣7k2+1=0,解得k2=或k2=1, 验证知k2=时,不成立,故舍去 所以k2=1,又k>0,故k=1, 此时B(﹣,﹣),G(﹣,)关于x轴对称, 又由(I)得x1=0,y1=1,所以点A(0,1), 由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上,可设△ABG的外接圆的圆心为(d,0), 因此d2+1=(d+)2+,解得d=﹣, 故△ABG的外接圆的半径为r==, 所以△ABG的外接圆方程为. |