试题分析:(1)分析哪些点在椭圆上,哪些点在抛物线上,显然 是椭圆的顶点,因此 ,从而点 是椭圆上的点,另两点在抛物线上,代入它们的标准方程可求得其方程;(2) 与 的顶点都是 ,底在同一直线上,因此基、其面积之比为底的比,即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023134140-19010.png) ,这样我们只要求出直线 与已知两曲线相交弦长即可,直线 与曲线 交于两点,其弦长为 ,当然由于直线过圆锥曲线的焦点,弦长也可用焦半径公式表示;(3)从题意可看出,只有把 , 求出来,才能得出结论,为了求 , ,我们可设 方程为 ,则 方程为 ,这样 , 都能用 表示出来,再计算 可得其为定值 ,反之若![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023134141-11166.png) ,我们只能设 方程为 , 方程为 ,分别求出 ,代入此式,得出 ,如果一定能得到 1,则就一定有 ,否则就不一定有 . 试题解析:(1) 在椭圆上, 在抛物线上,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023134145-14438.png) : (4分) (2)(理) = .
是抛物线的焦点,也是椭圆的右焦点,①当直线 的斜率存在时, 设 : , ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023134146-42836.png) 联立方程 ,得 , 时 恒成立. ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023134147-86155.png) (也可用焦半径公式得: ) (5分) 联立方程 ,得 , 恒成立.
, (6分)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023134148-84489.png) = . (8分) ②当直线 的斜率不存在时, : , 此时, , , = . (9分) 所以, 的最小值为 . (10分) (3)(理)证明:①若P、Q分别为长轴和短轴的端点,则 = .(11分) ②若P、Q都不为长轴和短轴的端点, 设![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023134148-19558.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023134148-79017.png) 联立方程 ,解得 ; (12分) 同理,联立方程 ,解得 ;
(13分) 反之,对于 上的任意两点 ,当 时, 设 , ,易得
; , 由 得 , 即 ,亦即 , (15分) 所以当 为定值 时, 不成立 (16分) “反之”的方法二:如果有 ,且 不在坐标轴上,作 关于坐标轴对称的射线与 交于 , ,显然, 与 不可能同时成立. |