已知椭圆的右焦点为F,A为短轴的一个端点,且,的面积为1(其中为坐标原点).(1)求椭圆的方程;(2)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足,连结CM,
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已知椭圆的右焦点为F,A为短轴的一个端点,且,的面积为1(其中为坐标原点).(1)求椭圆的方程;(2)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足,连结CM,
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
的右焦点为
F
,
A
为短轴的一个端点,且
,
的面积为1(其中
为坐标原点).
(1)求椭圆的方程;
(2)若
C
、
D
分别是椭圆长轴的左、右端点,动点
M
满足
,连结
CM
,交椭圆于点
,证明:
为定值;
(3)在(2)的条件下,试问
轴上是否存在异于点
C
的定点
Q
,使得以
MP
为直径的圆恒过直线
DP
、
MQ
的交点,若存在,求出点
Q
的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)
.(2)见解析;(3)存在
,使得以
为直径的圆恒过直线
、
的交点.
解析
试题分析:(1)由已知:
,可得
,
,可得椭圆方程为
.
(2)由(1)知,设
.根据
知
.
由
消去
,整理得:
,
应用韦达定理得
利用平面向量的坐标运算即得
(定值).
(3)以
为直径的圆恒过
的交点,
由
,建立
Q
坐标的方程.
试题解析:(1)由已知:
,
,
,
所以椭圆方程为
. 4分
(2)由(1)知,
.
由题意可设
.
由
消去
,整理得:
,
.
,
(定值). 9分
(3)设
.
若以
为直径的圆恒过
的交点,
则
.
由(2)可知:
,
,
即
恒成立,
∴存在
,使得以
为直径的圆恒过直线
、
的交点. 13分
举一反三
椭圆
的方程为
,离心率为
,且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1,抛物线
的方程为
,抛物线的焦点F与椭圆的一个顶点重合.
(1)求椭圆
和抛物线
的方程;
(2)过点F的直线交抛物线
于不同两点A,B,交y轴于点N,已知
的值.
(3)直线
交椭圆
于不同两点P,Q,P,Q在x轴上的射影分别为P′,Q′,满足
(O为原点),若点S满足
,判定点S是否在椭圆
上,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,椭圆的右焦点
与抛物线
的焦点重合,过
且于x轴垂直的直线与椭圆交于S,T,与抛物线交于C,D两点,且
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设P为椭圆上一点,若过点M(2,0)的直线
与椭圆相交于不同两点A和B,且满足
(O为坐标原点),求实数t的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
是椭圆
,
上除顶点外的一点,
是椭圆的左焦点,若
则点
到该椭圆左焦点的距离为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆
的焦点为
,点
在椭圆上,如果线段
的中点在
轴上,那么
是
的( )
A.
倍
B.
倍
C.
倍
D.
倍
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
:
(
)的右焦点
,右顶点
,且
.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)若动直线
:
与椭圆
有且只有一个交点
,且与直线
交于点
,问:是否存在一个定点
,使得
.若存在,求出点
坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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