试题分析: (1)根据题意设出椭圆 的方程,题目已知离心率即可得到 的值,根据椭圆的几何性质,短轴端点与两焦点构成的三角形以焦距为底边长,以短半轴长为高,即该三角形的面积为 ,再根据 之间的关系即可求出 的值,得到椭圆的标准方程.抛物线 的交点在x轴的正半轴,故抛物线的焦点为椭圆的右顶点 ,即可求出 得到抛物线的方程. (2)讨论直线AB的斜率,当斜率不存在时与y轴没有交点,所以不符合题意,则斜率存在,设直线AB的斜率为k得到直线AB的方程,联立直线与抛物线的方程得到AB两点横坐标的韦达定理,把向量的横坐标带入 向量的坐标表示得到 之间的关系为 反解 ,带入 ,利用 (韦达定理)带入 即可得到 为定值. (3)设出P,Q两点的坐标,则可以得到 的坐标,带入条件 得到P,Q横纵坐标之间的关系,因为P,Q在椭圆上,则满足椭圆的方程,这两个条件得到的三个式子相加配方即可证明点S在椭圆上,即满足椭圆的方程. 试题解析: (1)由题意,椭圆 的方程为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023135227-74304.png) ,又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023135228-50535.png) 解得 ,∴椭圆 的方程是 .由此可知抛物线 的焦点为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023135229-21466.png) ,得 ,所以抛物线 的方程为 . 4分 (2) 是定值,且定值为 ,由题意知, 直线的斜率 存在且不为 ,设直线 的方程为 , 则 联立方程组
消去 得:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023135231-40423.png) 且 ,由 , 得 整理得 可得
. 9分 (3)设 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023135233-42598.png) 由 得 ① 将点 坐标带入椭圆方程得, ② ③ 由①+②+③得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023135234-34277.png) 所以点 满足椭圆 的方程,所以点 在椭圆 上. 13分 |