已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)当△
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已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)当△
题型:不详
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来源:
已知椭圆C:
=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为
.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为
时,求k的值.
答案
(1)
=1(2)k=±1.
解析
(1)由题意得
解得b=
,所以椭圆C的方程为
=1.
(2)由
得(1+2k
2
)x
2
-4k
2
x+2k
2
-4=0.设点M,N的坐标分别为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),
则y
1
=k(x
1
-1),y
2
=k(x
2
-1),x
1
+x
2
=
,x
1
x
2
=
,
所以MN=
=
.
又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=
,所以△AMN的面积为S=
MN·d=
.由
=
,解得k=±1.
举一反三
如图,在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+1)
2
+y
2
=16,点F(1,0),E是圆C上的一个动点,EF的垂直平分线PQ与CE交于点B,与EF交于点D.
(1)求点B的轨迹方程;
(2)当点D位于y轴的正半轴上时,求直线PQ的方程;
(3)若G是圆C上的另一个动点,且满足FG⊥FE,记线段EG的中点为M,试判断线段OM的长度是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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给定椭圆C:
=1(a>b>0),称圆心在原点O、半径是
的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(
,0),其短轴的一个端点到点F的距离为
.
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B、D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,求
·
的取值范围;
(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点P,过点P作直线l
1
,l
2
,使得l
1
,l
2
与椭圆C都只有一个交点,试判断l
1
,l
2
是否垂直?并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆C的方程为
+y
2
=1,A、B是四条直线x=±2,y=±1所围成的矩形的两个顶点.
(1)设P是椭圆C上任意一点,若
=m
+n
,求证:动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程;
(2)若M、N是椭圆C上两个动点,且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积,试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,设E:
=1(a>b>0)的焦点为F
1
与F
2
,且P∈E,∠F
1
PF
2
=2θ.求证:△PF
1
F
2
的面积S=b
2
tanθ.
题型:不详
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|
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已知椭圆
=1(a>b>0)的离心率为
,短轴的一个端点为M(0,1),直线l:y=kx-
与椭圆相交于不同的两点A、B.
(1)若AB=
,求k的值;
(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.
题型:不详
难度:
|
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