设A、B分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且直线x=4是它的右准线.(1)求椭圆的方程;(2)设P为椭圆右准线上不同
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设A、B分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且直线x=4是它的右准线.(1)求椭圆的方程;(2)设P为椭圆右准线上不同
题型:不详
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设A、B分别为椭圆
=1(a>b>0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且直线x=4是它的右准线.
(1)求椭圆的方程;
(2)设P为椭圆右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线BP与椭圆相交于两点B、N,求证:∠NAP为锐角.
答案
(1)
=1(2)见解析
解析
(1)解:依题意,得
解得
从而b=
,故椭圆的方程为
=1.
(2)证明:由(1)得A(-2,0),B(2,0),设N(x
0
,y
0
),
∵N点在椭圆上,∴
=
(4-
).又N点异于顶点A、B,
∴-2<x
0
<2,y
0
≠0.由P、B、N三点共线可得P
,从而
=(x
0
+2,y
0
),
=
,则
·
=6x
0
+12+
=6x
0
+12-
(2+x
0
)=
(x
0
+2).
∵x
0
+2>0,y
0
≠0,∴
·
>0,于是∠NAP为锐角.
举一反三
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,动点M为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点),设线段FM交椭圆C于点P,已知椭圆C的离心率为
,点M的横坐标为
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线PA的斜率为k
1
,直线MA的斜率为k
2
,求k
1
·k
2
的取值范围.
题型:不详
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|
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已知曲线C:(5-m)x
2
+(m-2)y
2
=8(m∈R).
(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;
(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.
题型:不详
难度:
|
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已知直线l经过点(1,0)且一个方向向量
d
=(1,1).椭圆C:
=1(m>1)的左焦点为F
1
.若直线l与椭圆C交于A,B两点,满足
·
=0,求实数m的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆
=1(a>b>0)的离心率为
,且过点A(0,1).
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M、N,求证:直线MN恒过定点P
.
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系xOy中,已知F
1
,F
2
分别是椭圆E:
=1(a>b>0)的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,且
+5
=0.
(1)求椭圆E的离心率; (2)已知点D(1,0)为线段OF
2
的中点,M为椭圆E上的动点(异于点A、B),连结MF
1
并延长交椭圆E于点N,连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q,连结PQ,设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k
1
、k
2
,试问是否存在常数λ,使得k
1
+λk
2
=0恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
题型:不详
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|
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