如图,已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(0,1). (1)求椭圆的方程;(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M、N,求证:直线MN恒过定
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如图,已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(0,1). (1)求椭圆的方程;(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M、N,求证:直线MN恒过定
题型:不详
难度:
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如图,已知椭圆
=1(a>b>0)的离心率为
,且过点A(0,1).
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M、N,求证:直线MN恒过定点P
.
答案
(1)
+y
2
=1.(2)见解析
解析
(1)解:由题意知:e=
=
,b=1,a
2
-c
2
=1,解得a=2,所以椭圆的标准方程为
+y
2
=1.
(2)证明:设直线AM的方程为y=kx+1(k≠0),由方程组
得(4k
2
+1)x
2
+8kx=0,解得x
1
=
,x
2
=0,所以x
M
=
,y
M
=
.用-
代替上面的k,可得x
N
=
,y
N
=
.因为k
MP
=
,k
NP
=
,所以k
MP
=k
NP
,因为MP、NP共点于P,所以M、N、P三点共线,故直线MN恒过定点P
.
举一反三
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知F
1
,F
2
分别是椭圆E:
=1(a>b>0)的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,且
+5
=0.
(1)求椭圆E的离心率; (2)已知点D(1,0)为线段OF
2
的中点,M为椭圆E上的动点(异于点A、B),连结MF
1
并延长交椭圆E于点N,连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q,连结PQ,设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k
1
、k
2
,试问是否存在常数λ,使得k
1
+λk
2
=0恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,正方形ABCD内接于椭圆
=1(a>b>0),且它的四条边与坐标轴平行,正方形MNPQ的顶点M、N在椭圆上,顶点P、Q在正方形的边AB上,且A、M都在第一象限.
(1)若正方形ABCD的边长为4,且与y轴交于E、F两点,正方形MNPQ的边长为2.
①求证:直线AM与△ABE的外接圆相切;
②求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的离心率为e,直线AM的斜率为k,求证:2e
2
-k是定值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
=1(a>b>0),点P
在椭圆上.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足AQ=AO,求直线OQ的斜率的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为
.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.
(1)求椭圆C的方程;
(2)试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
=1(a>b>0)的离心率e=
,连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0).若|AB|=
,求直线l的倾斜角.
题型:不详
难度:
|
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