已知椭圆＝1(a＞b＞0)，点P在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足AQ＝AO，求直线OQ的斜率的值．

题型：不详难度：来源：

已知椭圆＝1(a＞b＞0)，点P在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足AQ＝AO，求直线OQ的斜率的值．

答案

（1）（2）k＝±.

解析

(1)因为点P在椭圆上，故＝1，可得＝.
于是e²＝＝1－＝，所以椭圆的离心率e＝.
(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为(x₀，y₀)．
由条件得消去y₀并整理得＝.①
由AQ＝AO，A(－a，0)及y₀＝kx₀，得(x₀＋a)²＋k²＝a².
整理得(1＋k²)＋2ax₀＝0，而x₀≠0，故x₀＝，代入①，整理得(1＋k²)²＝4k²·＋4.由(1)知＝，故(1＋k²)²＝k²＋4，
即5k⁴－22k²－15＝0，可得k²＝5.所以直线OQ的斜率k＝±.