已知A、B、C是椭圆上的三点,其中点A的坐标为,BC过椭圆m的中心,且(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点P,Q,设D为椭圆m与
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已知A、B、C是椭圆上的三点,其中点A的坐标为,BC过椭圆m的中心,且(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点P,Q,设D为椭圆m与
题型:不详
难度:
来源:
已知A、B、C是椭圆
上的三点,其中点A的坐标为
,BC过椭圆m的中心,且
(1)求椭圆
的方程;
(2)过点
的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点P,Q,
设D为椭圆m与y轴负半轴的交点,且
,求实数t的取值范围.
答案
(1)
(2)t∈(-2,4)
解析
本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,解题的关键是将
转化为k
DN
•k=-1进行求解.
(1)根据椭圆的性质和向量的数量积为零得到a,b的值,得到椭圆的方程。
(2)设出直线与椭圆联立方程组,然后结合根与系数的关系,和向量的等式得到参数的关系式,进而利用判别式得到范围。
解(1)∵
过(0,0)
则
∴∠OCA=90°, 即
又∵
将C点坐标代入得
解得 c
2
=8,b
2
=4
∴椭圆m:
(2)由条件D(0,-2) ∵M(0,t)
1°当k=0时,显然-2<t<2
2°当k≠0时,设
消y得
由△>0 可得
①
设
则
∴
由
∴
②
∴t>1 将①代入②得 1<t<4
∴t的范围是(1,4)
综上t∈(-2,4)
举一反三
某公园内有一椭圆形景观水池,经测量知,椭圆长轴长为20米,短轴长为16米,现以椭圆长轴所在直线为
轴,短轴所在直线为
轴,建立平面直角坐标系,如图所示:
(1)为增加景观效果,拟在水池内选定两点安装水雾喷射口,要求椭圆上各点到这两点距离之和都相等,请指出水雾喷射口的位置(用坐标表示),并求椭圆的方程。
(2)为了增加水池的观赏性,拟划出一个以椭圆的长轴顶点A、短轴顶点B及椭圆上某点M构成的三角形区域进行夜景灯光布置,请确定点M的位置,使此三角形区域面积最大。
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的离心率为
,并且直线
是抛物线
的一条切线。
(1)求椭圆的方程
(2)过点
的动直线
交椭圆
于
、
两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点
,使得以
为直径的圆恒过点
?若存在求出
的坐标;若不存在,说明理由。
题型:不详
难度:
|
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双曲线
的左、右焦点分别为
,
是双曲线上一点,
的中点
在
轴上,线段
的长为
,则该双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本小题12分)
如图,抛物线
的焦点到准线的距离与椭圆
的长半轴相等,设椭圆的右顶点为
在第一象限的交点为
为坐标原点,且
的面积为
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)过点
作直线
交
于
两点,射线
分别交
于
两点.
(I)求证:
点在以
为直径的圆的内部;
(II)记
的面积分别为
,问是否存在直线
,使得
?请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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(本小题12分)
已知椭圆
,斜率为
的直线
交椭圆
于
两点,且点
在直线
的上方,
(1)求直线
与
轴交点的横坐标
的取值范围;
(2)证明:
的内切圆的圆心在一条直线上.
题型:不详
难度:
|
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