已知椭圆的中心在原点,焦点在轴的非负半轴上,点到短轴端点的距离是4,椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.(1)求椭圆的标准方程和离心率;(2)若为焦点关于直线的对

已知椭圆的中心在原点,焦点在轴的非负半轴上,点到短轴端点的距离是4,椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.(1)求椭圆的标准方程和离心率;(2)若为焦点关于直线的对

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已知椭圆的中心在原点,焦点轴的非负半轴上,点到短
轴端点的距离是4,椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.
(1)求椭圆的标准方程和离心率
(2)若为焦点关于直线的对称点,动点满足,问是否存在一个定点,使到点的距离为定值?若存在,求出点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.
答案
(1) 椭圆的标准方程为. 离心率  
(2)存在一个定点,使点的距离为定值,其定值为
解析
本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及轨迹方程的求解来判定点是否存在。
(1)根据已知中椭圆的几何性质得关于参数a,b,c的关系式,进而解得。
(2)利用比值为定值,设出点的坐标,然后利用M的轨迹方程求解得到结论。
解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为,由已知得
.
所以椭圆的标准方程为.……………………6分
离心率…………………………7分
(2),设
……………………10分
化简得,即……………………12分
故存在一个定点,使点的距离为定值,其定值为………13分 
举一反三
椭圆C的中心在原点O,它的短轴长为,相应的焦点的准线了l与x轴相交于A,|OF1|=2|F1A|.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆C的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线l,交椭圆于P、Q两点,若点M在轴上,且使MF2的一条角平分线,则称点M为椭圆的“左特征点”,求椭圆C的左特征点;
(3)根据(2)中的结论,猜测椭圆的“左特征点”的位置.
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已知椭圆的两个焦点为(),(1,0),椭圆的长半轴长为2,则椭圆方程为(  )
A.B.
C.D.

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已知椭圆C的长轴长为2,两准线间的距离为16,则椭圆的离心率e为(  )
A.B.C.D.

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如图,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在轴上,长轴长是短轴
长的2倍,且经过点M. 平行于OM的直线轴上的截距为并交椭
圆C于A、B两个不同点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求m的取值范围; 
(3)求证:直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

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(本小题满分12分)已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点,离心率是
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点C(—1,0),斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点,请问x轴上是否存在点M,使为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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