已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切，过点P（4,0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点.（1).求椭圆C的方程; (2

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切，过点P（4,0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点.
（1).求椭圆C的方程;
(2).求的取值范围.

答案

（1）；（2）.

解析

（1）容易建立两个关于a,b的方程，椭圆C的方程直接可求.
(2)利用向量的坐标表示把表示成关于k的式子，然后利用函数求值域的方法确定其范围即可.
解：(1)由题意知，∴，即
又，∴
故椭圆的方程为                                     5分
（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为
由得：              7分
由得：               9分
设A(x₁，y₁)，B (x₂，y₂)，则　　① 10分
∴
∴
∵，∴，-------------------------------12分
∴
∴的取值范围是．-------------------  13分