本试题主要是考查了椭圆的 方程的求解,以及直线与椭圆的位置关系的运用并结合了直线与圆的位置关系来考查线段长度的最值问题的运用。 (1)设P (x,y),F1 (–c,0),F2(c,0),其中 则 看作线段AD上的点P (x,y)到原点距离的平方, ∴P在A点,x2 + y2最大,∴a2 – c2 = 1, 又.………………4分 (2)由(1)知椭圆方程为, ①设圆心在原点的圆的一条切线为y = kx + t,. 解方程组……………5分 要使切线与椭圆恒有两个交点A,B,则使 即,………………………………6分
要使 所以5t2 – 4k2 – 4 = 0,即5t2 = 4k2 + 4且t2<4k2 + 1,即4k2 + 4<20k2 + 5恒成立. 又因为直线y = kx + t为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为r =……………7分 ②当切线的斜率不存在时,切线为满足. 综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B. ……………………8分 (3)设直线l的方程为y = mx + n,因为直线l与圆C:x2 + y2 = R2 (1<R<2)相切于A1, 由(2)知 ①, 因为l与椭圆只有一个公共点B1,由(2)知有唯一解, 则即4m2 – n2 + 1 = 0, ② 由①②得此时A,B重合为B1 (x1,y1)点,由x1 = x2,所以B1 (x1,y1)点在椭圆上,所以 ,在直角三角形OA1B1中,|A1B1|2 = |OB1|2 – |OA1|2 = 5 因为时取等号,所以 即当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.………………………………13分 |